자체 참조 또는 대각 화에 의존하지 않는 중지 문제의 결정 불가능한 증거가 있습니까?

이 관련된 질문 이 하나 . 토론을 많이 한 후에 다시 한 번 더 간단한 형태로 바꾸면 완전히 다른 질문처럼 느껴졌습니다.

정지 문제의 결정 불가능성에 대한 고전적인 증거는 가상의 HALT 결정자를 자신에게 적용하려고 할 때 모순을 입증하는 데 달려 있습니다. 나는 이것이 그 자체 가 멈출 것인지 아닌지를 결정하는 HALT 결정자가 불가능하다는 것을 나타내는 것이라고 생각 하지만, 다른 경우 의 중지의 결정 가능성에 대한 정보를 넘어서는 정보를 제공하지 않습니다 .

그래서 질문은

HALT가 스스로 결정할 수 없다는 것을 보여 주거나 대각선 화 주장에 의존하지 않는 중지 문제가 결정 불가능하다는 증거가 있습니까?

작은 편집 : 나는 질문의 원래 문구에 전념 할 것인데, 이것은 HAGO에 의존하는 대각선 화에 의존하지 않아야하기보다는 대각선에 전혀 의존하지 않는 증거를 요구합니다.

예, 계산 이론 (일명 재귀 이론)에는 그러한 증거가 있습니다.

먼저 정지 문제 (세트 것을 보여줄 수 ) 집합을 계산하는데 사용될 수있다 이고 1 일반적인 의미에서 각 의미 대한 사실 유한하여 결정을 의 접두사 . 그런 다음 그러한 집합 가 계산 가능하지 않다는 것을 쉽게 증명할 수 있습니다 (즉, 결정 가능).$0'$$G\subseteq\mathbb N$$\Sigma^0_1$$G$$G$$G$

동일한 효과를 위해 1- generic 을 1-random, 즉 Martin-Löf random로 대체 할 수 있습니다. 이것은 Jockusch-Soare Low Basis Theorem을 사용 합니다.

(경고 : 은 1 랜덤 인 Chaitin의 계산 한다는 것을 보여주는 것을 고려할 수 있지만 여기서는 가 1- 랜덤 이라는 증거 가 결정 불가능한 정지 문제에 의존 하는지 여부에주의해야합니다 ! Low Basis Theorem을 사용하는 것이 더 안전합니다).$0'$$\Omega$$\Omega$

요청에 따라 내 의견에서 다시 게시되었습니다.

결정 불가능한 문제점 (단순 카디널리티 인수)이 있으며, 멤버를 인식하는 TM M을 갖는 결정 불가능한 문제점 P가 있지만 (비회원에서는 종료되지 않을 수 있음) 관찰부터 시작하십시오. 이제 HALT (M)을 해결하면 P에 대한 결정자를 얻게됩니다. 먼저 M이 x에서 정지하는지 확인합니다. 만약 그렇다면, 우리는 그것을 실행하고 M과 동일하게 반환합니다. 그렇지 않으면, 우리는 M이 P의 모든 멤버에서 정지하기 때문에 거부합니다. 이제 P가 결정 불가능하다고 가정했기 때문에 이것은 모순입니다.

주 : 그는 대각선 화를 완전히 회피 한 논거가 아니라 HALT를 사용하여 대각선 화를 회피 한 논거를 찾고 있다고 설명했다.

편집 :이 주장은 붙어있다. HALT가 있음을 표시하는 것 외에 RE-REC가 비어 있지 않음을 직접 보여줄 수 있습니까?

다른 포스터 (Chaitin을 언급 함)는 언급했지만 베리 역설을 사용하여 정지 문제를 결정할 수 없음을 증명할 수 있습니다. 다음은 증거에 대한 간단한 스케치입니다.

HALT는 기계 M이 입력 I에서 정지하는지 여부를 결정하는 기계가되게하십시오. HALT 자체가 특정 입력에서 정지하지 못함을 보여줍니다. 이는 언어를 결정할 수 없음을 나타냅니다.

다음 기능 f를 고려하십시오.

f (M, n) = a, 여기서 a는 | I |를 가진 입력 I에서 기계 M으로 계산할 수없는 가장 작은 양의 정수입니다. <n

HALT가 계산 가능한 함수라고 가정하면 f는 계산 가능한 함수입니다. 모든 기계 M과 입력 문자열 I에 대해 길이가 I보다 작은 n의 HALT (M, I)를 시뮬레이션하면됩니다. 시뮬레이션이 중단되면 M (I)을 시뮬레이션하고 출력이 무엇인지 기록하고 M, n 쌍으로 출력되지 않는 가장 작은 출력 a를 찾으십시오.

이제 f를 계산할 수 없다는 것을 보여줍니다. f (f, 10000000 * | f | +10000000)를 고려하십시오. 그것이 출력하는 것이 무엇이든, 주어진 길이보다 길이가 짧은 입력 I에서 기계 컴퓨팅 f에 의해 계산할 수없는 (양의) 정수 여야합니다. 그러나 우리는 f와 훨씬 짧은 정수를 출력했습니다. 입력.

따라서 f는 계산할 수 없으므로 HALT가 계산 가능하다는 가정은 거짓입니다. 나는이 증거가 대각선을 사용한다고 믿지 않는다.

이것이 중요한지는 확실하지 않지만 재귀 정리를 사용하여 증명할 수 있습니다. 경우 재귀 정리 말한다 모든 튜링 기계의 리스팅 효과적이며 재귀 함수이며, 다음가 되도록 모든 입력에서. 당신이 말하는 입력에 있는지 여부 주어진 기계가 정지를 결정할 수 있다면 당신은 재귀 쓸 수 입력에 있음을 에가 정지하는 튜링 기계의 인덱스 출력 IFF 에 정지하지 않습니다 . 재귀 이론으로 존재 되도록 =$\{W_e\}_{e=1}^{\infty}$$f$$e$$W_e = W_{f(e)}$$0$$f$$e$$0$$W_e$$0$$e$$W_e(0)$$W_{f(e)}(0)$ 이며 모순입니다.