산술 회로의 다중 선형화 평가?

하자 $p(x_1,\ldots,x_n)$ 필드 위에 계수 다 (多) 변수 다항식 $F$ . 의 multilinearization $p$ 붙이고, 반복적으로 각각 대체의 결과 가진 에 의한 . 결과는 분명히 다중 선형 다항식입니다. $\hat{p}$ $x_i^d$ $d > 1$ $x_i$

다음과 같은 문제를 고려 연산 회로 주어진 $C(x_1,\ldots,x_n)$ 를 통해 $F$ 주어진 필드 요소 , 컴퓨팅 . $a_1,\ldots,a_n$ $\hat{C}(a_1,\ldots,a_n)$

질문 : 필드-산술을 단위 시간으로 수행 할 수 있다고 가정하면 다항식 시간 알고리즘이 있습니까? 나중에 추가 : $C$ 가 실제로 수식 (팬 아웃 회로) 인 특수 경우에도 관심이 있습니다 $1$ .

cc.complexity-theory polynomials

— 슬림 톤
소스

폐쇄 회로의 출력을 계산하는 것과 동등한 이유는 무엇입니까? I가 직면하고있는 문제는 회로의 입력으로부터 분리 된 경로를 가질 수 있다는 것이다

여러 내부 승산 노드로, 그 내부 승산 노드들 각각을 평가하는 교체 요구

로

한 경로에 의해

다른쪽에 . 지수 수가 많은 회로에서 처리해야 할 지수가있는 것처럼 보입니다.

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

a_{i}

$a_i$

1

$1$

— slimton

@ Kaveh : 나는 그것을 얻지 못한다. 회로를보십시오

. 방금 입력의 노드를 교체하는 경우

값으로 노드에 의해 표준 방법으로 평가 당신은 반환 결국

대신

. 계산 모델 : 튜링 머신에서 정상적인 다항식 시간. 원한다면 콘크리트를

라고 생각하십시오 .

(x * x)

$(x * x)$

x

$x$

a

$a$

a^{2}

$a^2$

a

$a$

Z / 3 Z

$Z/3Z$

— slimton

@ Kaveh : 나는 그러한 알고리즘이 당신이 말하는 것을 어떻게 이해하는지 이해하지 못하지만, 이것은 산술 회로 복잡성에 대한 일반적인 가설과 모순됩니다. 다항식

. 이 다항식 의 다중 선 부분

는 최고도 (

) 부분이

p = \prod_{i} (\sum_{j} x_{i j} y_{j})

$p=\prod_i(\sum_j x_{ij} y_j)$

q

$q$

= 2 n

$=2n$

. 작은 산술 회로 컴퓨팅

가 있다면, 작은 산술 회로 컴퓨팅

이 있음을 나타낼 수있다.

r = y_{1} y_{2} \dots y_{n} P e r (x_{11}, \dots, x_{n n})

$r = y_1y_2\cdots y_n Per(x_{11},\ldots,x_{nn})$

q

$q$

r

$r$

— Srikanth

@ Skrikanth : 내 답변을 게시하기 전에 귀하의 의견을 보지 못했습니다 (댓글에서 작성한 것과 동일한 구성으로 밝혀졌습니다). 그 이후로 답변을 삭제 했으므로 귀하의 의견을 답변으로 게시해야합니다.

— Joshua Grochow

@Joshua : Kaveh의 건축이 왜 작동하는지 이해하지 못했기 때문에 내 의견을 답변으로 추가하지 않았습니다. 산술 회로가 모든 입력 에서 다중 선형화 와 일치하는 다항식을 계산하지만 주어진 다항식의 다중 선형화를 공식적으로 계산하는지 확실하지 않습니다 (Kaveh의 답변 후 주석 참조). 내 구성 (및 귀하)은 다중 선형화가 공식적으로 계산된다고 가정합니다.

— Srikanth

답변:

현장하는 경우 크기 이상이며 , 나는이 문제가 어렵다 생각합니다. 보다 구체적으로, 가 위와 같이 효율적으로 해결 될 수 있다면 CNF-SAT는 효율적인 무작위 알고리즘을 가지고 있다고 생각합니다 . CNF 공식 가 있다고 가정 . 하나는 쉽게 연산 회로로 올 수 `산술 '계산 의 다항식, 화학식 동의 에 - 입력. 의 다중 선형화 를 고려하십시오 . 참고 $F$ $2n$ $F$ $\varphi$ $C$ $p$ $\varphi$ $p$ $\varphi$ $0$ $1$ $q$ $p$ $q$ 및 에 동의합니다 . $p$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

나는 주장 IFF에 제로가 아닌 만족할 수있다. 분명히 이면 를 충족시킬 수 없습니다. 반대로 0이 아닌 다중 선형 다항식은 모든 에서 사라질 수 없다는 것을 알 수 있습니다 . 이는 0이 아닌 (따라서 해당 )가 일부 입력에서 사라지지 않음을 의미 합니다. $q$ $\varphi$ $q=0$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$ $q$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

따라서, 만족도 를 검사하는 것은 가 0이 아닌지를 검사하는 것과 동일하다 . 이제 큰 필드 대해 를 평가할 수 있다고 가정하십시오 . 그런 다음 Schwartz-Zippel Lemma를 사용하여 효율적인 무작위 알고리즘을 사용하여 를 식별 테스트 하고 다항식이 0인지 확인합니다 ( 의 크기 는 Schwartz-Zippel Lemma의 오류 상한에 사용됨). $\varphi$ $q$ $q$ $F$ $q$ $F$

— 스리 칸트
소스

F는 입력에 F를 지정하는 것이 없기 때문에 고정 필드 인 것 같습니다. 또한 필드 작업에는 단위 시간이 걸린다고 가정합니다.

— Kaveh

감사합니다 Srikanth. Kaveh가 고정 유한 필드 사건에 관심이 있다는 것을 짐작했지만이 대답은 질문을 조금 더 잘 이해하는 데 도움이됩니다.

— slimton

polytime 알고리즘 주어진 있다고 가정 과 의 다중 선형의 계산 결과 상 . (wlog I 출력이 있다고 가정한다 의 벡터 것이다 이진수 비트 인 IFF 하나이다.) $C(\vec{x}) \in F(\vec{x})$ $\vec{a}$ $C$ $\vec{a}$ $\vec{b}$ $p$ $b_i$ $k$ $b_{i,k}$

이후 ,이 연산 회로와 변수 값의 인코딩을 지정하는 polysize 부울 회로의 입력에 연산 회로의 다중 선형화를 계산한다. 이 회로를 이라고하자 . $P \subseteq P/poly$ $M$

는 임의의 산술 회로라고 하자 . 산술 회로를 설명 하는 부울 회로 의 변수를 수정하여 주어진 입력 에서 의 다중 선형화를 계산하는 부울 회로를 갖습니다 . $C$ $M$ $C$

$F_p$ $x^{p-1}$ $1$ $0$ $p-1$ $f \land g$ $f.g$ $f \lor g$ $f+g-f.g$ $\lnot f$ $1-f$

$F_p$ $b_i$ $\sum_{0 \leq k \leq p-1}{kb_{i,k}}$

$F_p$ $\bmod 3$ $2x(x+1)$ $2x(x+2)$ $x \in F_3$

이러한 결합 우리 위에있는 연산 회로 의 다중 선형 연산 의 크기가 크기 polynomail와 . $F_p$ $C$ $C$

— 카베
소스

설명 한 산술 회로가 의 다중 선형화 또는 실제로 다중 선형 다항식을 계산하는 이유는 분명하지 않습니다 . 나는 연산 회로의 multilinearization에 동의 일부 다항식 계산하는 것을보고 만 수 있어요 에 - 입력.

C

$C$

C

$C$

0

$0$

1

$1$

— Srikanth

@Srikanth : 부울 회로 의 산술 버전 (일부 입력이 고정 된)은 다중 선형 버전 계산하므로 다중 선형 일 필요는 없습니다. 그런 다음 유일한 문제는 입력 / 출력이 이상의 이진 값이 아니라 이진에서 원래 입력 및 출력 값으로 입력 / 출력 인코딩을 수정해야한다는 것입니다. 결과 회로는 변수에 대한 값을 가져 와서 이진수로 인코딩하고, 입력에 대한 의 다중 선형화 값을 계산하고 , 이진수로 답을 출력 한 다음 다시 로 변환 하는 산술 회로입니다 .

M

$M$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

C

$C$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

— Kaveh

결과는 와 동일한 변수 와 동일한 출력을 가진 산술 회로 이며 의 다중 선형화를 계산합니다 .

C

$C$

C

$C$

— Kaveh

@Kaveh : 부울 회로 의 입력이 의 출력과 같은 형식 이라고 가정 했습니까 ? 어쨌든 나는 여전히 확신하지 못한다. 산술 회로가 필드의 모든 입력에서 다항식 와 일치 하는 다항식 를 계산 하지만 완벽하게 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 다항식 는 모든 입력에서 와 일치 하지만 다항식과 같지 않습니다. 회로 이 모든 입력에서 의 다중 선형화에 동의하는 비 다중 선형 다항식을 단순히 계산하는 것이 아니라는 것을 어떻게 알 수 있습니까?

M

$M$

M

$M$

f

$f$

g

$g$

f \neq g

$f\neq g$

x^{p}

$x^p$

x

$x$

M

$M$

C

$C$

— 스리 칸트

@ Skrikanth : 대답에 입력 및 출력 형식을 설명했습니다. 대한 입력 은 이진수이고 의 출력 은 위에서 언급 한 형식입니다. 나는 그것이 다중 선형이라고 말하지 않았고 , 의 다중 선형화를 계산 한다고 말했다 .

M

$M$

M

$M$ $C$

— Kaveh