"확률 방정식"시스템

개의 꼭지점과 모서리가 있는 그래프를 고려하십시오 . 꼭짓점에는 실제 변수 로 레이블이 지정되며 여기서 은 고정됩니다. 각 모서리는 "측정"을 나타냅니다. 모서리 에 대해 측정 값 . 보다 정확히 말하면 는 의 진정한 임의의 양으로 , 다른 모든 측정 값 (에지)과 균등하게 분포되고 독립적입니다. $n$ $m$ $x_i$ $x_1=0$ $(u,v)$ $z \approx x_u - x_v$ $z$ $(x_u - x_v) \pm 1$

위의 분포 약속과 함께 그래프와 측정 값이 제공됩니다. 시스템을 "해결"하고 의 벡터를 얻고 싶습니다 . 이 유형의 문제에 대한 작업이 있습니까? $x_i$

실제로, 나는 더 간단한 문제를 해결하고 싶습니다. 누군가 나를 정점 와 를 를 계산해야합니다 . 가장 짧은 경로를 찾거나 가능한 한 많은 분리 된 경로를 찾아 평균화하는 것 (길이의 제곱근의 역으로 가중)과 같은 많은 시도가 있습니다. "최적의"답변이 있습니까? $s$ $t$ $x_s - x_t$

계산의 문제 자체는 완전히 정의되지 않았습니다 (예 : 변수에 대해 사전에 가정해야합니까?). $x_s - x_t$

ds.algorithms graph-algorithms

— 미하이
소스

이것은 대답이 아니지만 s에서 t까지의 경로를 따라 Kalman 필터를 사용하면 경로 길이를 적절하게 처리하는 방법으로 생각됩니다.

— Suresh Venkat

이것은 도움이되지 않거나 필요한 것보다 더 많은 기술 일 수는 있지만, 로봇 대수학 및 분자 생물학에서 가장자리가 정확하게 측정되지 않는 복합물에 대한 문제를 해결하기위한 확률 적 대수 토폴로지 이론이 개발되고 있습니다. 랜덤 링키지의 무증상에 대한 이론이 있습니다 (링크 = 에지 가중치를 가진 그래프). 예를 들어,이 논문의 결과는 그래프의 예상 Betti 수를 얻을 수 있다고 생각합니다 : arxiv.org/abs/0708.2997

— Aaron Sterling

오류가 문제 또는 임의의 모델링 결정에 내재 된 다른 분포가 아닌 [-1,1]에 균일하게 분포되어 있다는 사실입니까? 후자의 경우 가우시안을 대신 사용하여 훨씬 간단하게 만들 수 있습니다.

— 워렌 슈디

오류 모델은 문제에 확실히 고유이다.

\pm 1

$\pm 1$

— Mihai

답변:

답을 찾고자하는 영역은 기계 학습입니다. 그래픽 모델을 설명했습니다. 나는이 경우에 믿음 전파 만큼이나 쉬운 방법이라고 생각 합니다.

— 라파엘
소스

믿음의 전파는 일반적인 그래프에서 정확하지 않습니다. Mihai의 문제는 신념 전파보다 더 원칙적인 방법으로 해결할 수있는 것으로 보입니다.

— 워렌 슈디

측정 값이 가우스 인 경우 선형 최소 제곱 곡선 피팅과 같은 제곱 잔차의 합을 최소화하면 최대 가능성 추정값을 얻을 수 있습니다. 귀하의 문제에 대해서는 아무것도 쓰지 않았지만 (Bays 규칙을 통해) 데이터를 생성 할 수있는 모든 세트가 데이터를 생성했을 가능성이 있다고 추측합니다. 폴리 토프에서 점을 찾아서 (즉, 목적없이 선형 프로그램을 해결하여) 하나의 최대 가능성 솔루션을 찾을 수 있습니다. 추정 (손실 기능)으로 수행하려는 작업에 따라 최상의 추정기는 해당 폴리 토프에 대한 손실 기능의 적분을 최소화하는 것입니다. 적분을 효율적으로 평가하고 최소화하는 방법을 추측하기 전에 손실 함수가 무엇인지 알려줄 때까지 기다립니다. $x$

— 워렌 슈디
소스

믿기 힘들 것 같습니다. 내 그래프가 와 사이 직렬 평행 이고 모든 직렬 경로의 길이가 같다고 가정하십시오. 모든 경로는 동일한 수량을 독립적으로 측정하며 경로가 길면 오류가 가우시안됩니다. 독창적 인 파일이 경로를 평균화하는 것이 분명한 것 같습니다.

s

$s$

t

$t$

— Mihai

좋은 지적. 폴리 토프 의 나 s 의 공동 분포에 대한 최대 가능성 추정값이 있지만 의 추정값 만 찾고 있다는 것을 잊었습니다 . 의 최대 우도 추정값을 얻으려면 해당 폴리 토프와 최대 교차점이 있는 평면 를 찾아야합니다 . : polytopes의 일반적인 컴퓨팅 볼륨 정확히 할 어렵지만 근사 될 수 있다는 것을 나타납니다 mathoverflow.net/questions/979/...을 . 따라서 근사 최대 우도 값에 대한 이진 검색을 수행 할 수 있습니다.

x

$x$

x_{s} - x_{t}

$x_s-x_t$

x_{s} - x_{t}

$x_s-x_t$

x_{s} - x_{t} = c

$x_s - x_t = c$

— 워렌 슈디

물론 해당 특정 폴리 토프의 부피를 계산하는 것이 훨씬 쉬울 수 있습니다. 나는 그것에 대해 생각해야 할 것이다.

— 워렌 슈디

관절 분포의 MLE도 각 변수의 MLE을 제공한다는 점에서 가우시안이 더 잘 동작한다는 의혹이 있습니다. 그러나 나는 더 많이 생각하거나 확신해야 할 것이다.

— 워렌 슈디

시리즈 / 병렬 예에서는 오차가 가우시안이 아닌 경우에도 제곱 잔차의 합을 최소화하는 것이 일부 그래프에서 효과적인 휴리스틱이 될 수 있다고 제안합니다.

— 워렌 슈디