컴퓨터 과학에 대한 토폴로지 응용

컴퓨터 과학에서 토폴로지의 응용 프로그램에 대한 설문 조사를 작성하고 싶습니다. 나는 컴퓨터 과학의 토폴로지 아이디어의 역사를 다루고 현재의 몇 가지 발전을 강조 할 계획이다. 아래 질문에 대해 누구나 의견을 제시 할 수 있다면 매우 도움이 될 것입니다.

1. Computer Science에서 토폴로지 사용의 연대기를 설명하는 논문이나 메모가 있습니까?

2. 컴퓨터 과학에 토폴로지에서 결과의 가장 중요한 적용은 무엇입니까?

3. 토폴로지를 사용하여 계산에 대한 통찰력을 얻는 현재 작업에서 가장 흥미로운 영역은 무엇입니까?

감사!

개인적으로 가장 흥미로운 토폴로지 적용은 Herlihy와 Shavit이 수행 한 작업이라고 생각합니다. 대수 토폴로지를 사용하여 비동기 분산 계산의 특성을 규명하고 중요한 알려진 결과에 대한 새로운 증거를 제공하고 오랫동안 열려있는 수많은 문제를 해결했습니다. 그들은 그 작품으로 2004 Godel 상을 수상했습니다.

"비동기 계산의 토폴로지 구조"Maurice Herlihy와 Nir Shavit, ACM 저널, Vol. 46 (1999), 858-923,

토폴로지는 기하학적, 대수적, 메트릭, 포인트 세트 및 (자체적으로 사용되지 않는) 포인트리스 토폴로지를 포함하여 다양한 서브 필드가있는 성숙한 분야입니다. 컴퓨터 과학도 상당히 광범위하고 많은 수학적 하위 영역이 있으므로 CS에서 토폴로지 아이디어가 많이 적용될 것으로 기대합니다. 마샬 스톤은 "항상 사과한다"고 말하며 필요한 배경을 가진 컴퓨터 과학자들도 종종있다. 충분 해 몇 가지 예.

이 예제는 토폴로지로 해결 된 어려운 CS 문제가 아닙니다. 때때로 토폴로지 개념은 CS 설정으로 매우 잘 전달되거나 CS의 하위 영역에 대한 기초를 제공합니다.

1. 제안 논리의 간결성 정리는 티코 노프 정리의 결과입니다. 1 차 로직의 컴팩트 성은 일반적으로 다르게 입증됩니다. 소형은 고전 모형 이론에서 중요한 도구입니다.

2. 부울 대수에 대한 스톤의 표현 정리는 명제 논리, 부울 대수 및 특정 위상 공간의 모델과 관련이 있습니다. 대수 논리 및 프로그래밍 언어 시맨틱에 사용되는 구조에 대한 석재 유형 이중성 결과가 도출되었습니다.

3. Nick Pippenger는 Stone의 정리를 일반 언어의 부울 대수에 적용하고 토폴로지를 사용하여 일반 언어에 대한 몇 가지 사실을 증명했습니다. 언어 이론의 토폴로지에 대한 최신 연구는 Jean-Eric Pin의 의견을 참조하십시오.

4. 공식적인 방법에는 안전 및 생활 속성이라는 개념이 있습니다. 모든 선형 시간 속성은 안전 속성과 라이브 속성의 교차로 표현 될 수 있습니다. 증명은 기본 토폴로지를 사용합니다.

5. Martín Escardó는 무한 세트를 검색하는 알고리즘과 프로그램을 개발했습니다. 컴팩트 함이 그 작업의 핵심 요소라고 생각합니다.

6. Kuratowski와 같은 폴란드의 위상 학자들의 연구는 우리에게 폐쇄 연산자를 제공했다. 격자의 클로저 연산자는 정적 프로그램 분석의 기초가되는 추상 해석 이론의 중요한 부분입니다.

7. 클로저 연산자 및 기타 토폴로지 아이디어는 수학적 형태의 기초입니다.

8. 폴란드 학교의 내부 운영자 개념은 모달 논리의 공리 화에 중요합니다.

9. 많은 컴퓨터 과학은 그래프 기반 구조를 기반으로합니다. 일부 응용 프로그램은 그래프에서 제공하는 것보다 풍부한 연결성 및 흐름 개념이 필요하며 토폴로지는 자연스럽게 다음 단계입니다. 이것은 동시성 이론에서 van Glabbeek의 고차원 오토마타와 동시 프로그램의 시맨틱에 대한 Eric Goubault의 기하학 토폴로지 적용을 읽은 것입니다.

10. 가장 많은 언론을받는 응용 프로그램은 분산 컴퓨팅에서 특정 내결함성 시나리오를 특성화하기위한 토폴로지 적용 (처음에는 대수적이지만 더 많은 조합 프레젠테이션도 존재 함)입니다. 위에서 언급 한 Herlihy와 Shavit 외에도 Borowsky와 Gafni, Saks와 Zaharouglou는 이러한 최초의 돌파구를 제시했습니다. 비동기 계산 프레임 워크는 더 많은 결과를 산출했습니다.

11. Brouwer의 고정 점 정리는 우리가 연구하는 몇 가지 문제를 일으켰습니다. 가장 최근에 알고리즘 게임 이론, 복잡성 클래스 PPAD 및 고정 소수점 문제의 복잡성 클래스 FixP에 대한 연구에서.

12. Borsuk-Ulam 정리에는 그래프 및 메트릭 임베딩에 대한 여러 응용 프로그램이 있습니다. 이것들은 Jiří Matoušek의 책에서 다룹니다.

이것들은 거기에있는 것에서 빈약 한 선택 입니다. 행운을 빕니다!

$D\cong [D\to D]$$\lambda$-계산법. 의미는 기본적으로 순서에 의해 주어진 근사 개념과 방정식의 최소 고정 소수점 솔루션을 기반으로하며, 솔루션은 일반적으로 존재합니다.

명칭 의미론의 형태소 분석은 추상적 해석, 프로그램 분석 및 검증과 관련이 있습니다.

현재의 연구에는 동시성 및 양자 언어에 대한 의미 적 의미론을 제공하는 것이 포함됩니다.

Abramsky와 Jung은 핵심 아이디어 인 Domain Theory에 대한 훌륭한 조사를 제공합니다 .

연결된 대수 구성 요소의 수,보다 일반적으로 Betti 수, 반대 수 품종 및 초평면 배열 (및 그 보완)의 경계가 대수 계산 및 의사 결정 트리의 여러 하한에 사용되었습니다. 몇 가지 큰 참조는 다음을 참조하십시오.

Michael Ben-Or, 대수 계산 트리의 하한, STOC 1983, pp. 80-86.

Andrew Chi-Chih Yao, 의사 결정 트리 복잡성 및 Betti 번호, J. Comput. 시스템 과학 55 (1997), no. 1, 1 부, 36-43 (STOC 1994).

Anders Bjorner 및 Laszlo Lovasz, 선형 의사 결정 트리, 부분 공간 배열 및 Mobius 기능, J. Amer. 수학. Soc. 7 (1994), no. 3, 677-706.

Smale은 다르지만 다소 관련이있는 맥락에서 Blum-Shub-Smale 모델에서 근본 찾기의 복잡성을 낮추기 위해 토폴로지를 매우 흥미로운 방식으로 (특히 브레이드 그룹의 상 동성) 사용했습니다.

Smale, S. 알고리즘 토폴로지, IJ Complexity, 3 (2) : 81-89, 1987.

$2^{\omega}$

이것은 Dave의 답과 도메인 이론과 관련이 있습니다. 여기에서 기본적인 논거는 계산 능력이 본질적으로 로컬 연산 과 유한 한 관찰 에 기반한다는 것 입니다. 계산 성을 정제 된 토폴로지 개념으로 생각할 수 있습니다. 가장 명확한 예는 다음과 같습니다.

모든 (oracle Turing) 계산 가능 기능은 연속적입니다. 다른 한편으로, 모든 연속 기능은 적합한 오라클로 계산할 수있는 오라클 튜링입니다.

Klaus Weihrauch의 저서 "Computable Analysis"에서 더 많은 내용을 찾을 수 있습니다. Steven Vickers의 "Topology via Logic"이라는 멋진 책을 살펴 보는 것도 좋습니다.

설문 조사와 관련이있을 수있는 다른 두 가지 논문 ...

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, 인식에 대한 토폴로지 접근법, ICALP 2010, Part II, 컴퓨터 과학 강의 노트 6199, Springer Verlag, (2010), 151-162.

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. 정규 언어의 핀, 이중성 및 방정식 이론, ICALP 2008, 논문 B, ICALP 2008, 파트 II, 컴퓨터 과학 강의 노트 5126, Springer Verlag, (2008), 246-257

Kanderer 추측과 Aandera-Rosenberg-Karp 추측에 대한 Kahn / Saks / Sturtevant 증명을 잊지 마십시오.

로버트 그리스트 (Robert Ghrist ) (이전의 일리노이)에서 지금은 U 펜 ( Un Penn)의 작업을 언급하지 않았으며 센서 네트워크 및 로봇과 같은 것에 토폴로지를 적용했습니다. 좋은 인터뷰가 있습니다.

또한 데이터 분석에 토폴로지를 적용 하는 Gunnar Carlsson 등의 연구와 관련이 있습니다 .

아마도 STOC / FOCS TCS가 아니라 컴퓨터 과학 일 것입니다.

동시성을 이해하고 동시 계산을 모델링하는 이론은 위상 적으로 가장 잘 이해됩니다. 에릭 구보 (Eric goubault)는 지오메트리 와의 동시성 모델링에 대한 작업 을 수행했으며, 스탠포드 동시성 그룹의 동시성에 대한 추 공간 적용에 대한 프랫의 작업 도 흥미 롭다. 나는 그들의 일에 익숙하지 않지만.

모든 작업은 내결함성 양자 컴퓨터에 대한 토폴로지 접근 방식으로 Kitaev에 의해 시작되었습니다. 참조 Kitaev의 원래 종이를 , 예를 들어, 존 프레 스킬의 또는 강의 노트를 .

직접 대수 토폴로지를 언급 한 사람은 아무도 없었으며, 이는 동시성 연구에 적합한 대수 토폴로지 도구 상자를 제공하기 위해 개발 된 것입니다.

계산 이론에서 주제에 대한 몇 가지 낮은 차원의 토폴로지 접근 방식도 있습니다.

• 브레이드 이론에 기반한 내결함성 양자 양자 계산에 대한 다양한 접근법. 예를 들어 여기 및 여기를 참조하십시오 . 단열 양자 계산 네트워크에도 여기가있다 .
• 람다 미적분학 (예 : HERE , 46-48 페이지 및 HERE ) 및 Milner 's pi 미적분학 ( HERE )에 대한 다이어그램 토폴로지 기반 형식 .
• 유색 얽힌 연결을 사용하여 재귀 및 마르코프 체인을 모델링합니다. 예를 들어 여기 및 여기를 참조하십시오 . 실제로 모든 튜링 머신 계산 및 반복적 인 1 차 신경망을 이러한 방식으로 모델링 할 수 있음이 입증되었습니다 (미공개).
• 토폴로지 다이어그램이 계산을 나타내는 양자 계산에 대한 더 높은 범주의 이론적 형식이 있으며, 토폴로지와 동등한 다이어그램은 동일한 계산 내용으로 다른 절차를 나타냅니다. 여기를 참조하십시오 .

일부 포함 응용 프로그램

Matousek의이 책을 확인하십시오 : http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

또한이 서류들을 확인하십시오 :

• Bi-Lipschitz를 저 차원 유클리드 공간에 삽입, J. Matousek (1990) (반 캄펜 정리를 사용하여 하한을 증명)
• R ^ d, J. Matousek 및 A. Sidiropoulos에 메트릭 임베딩에 대한 불확실성

이 책을 읽으십시오 :

그 참조 보관 된 웹 페이지를

이 책, 전산 복잡도 : 양적 관점, 리소스가 제한된 토폴로지 도구를 사용하여 일부 복잡성 클래스의 크기를 연구합니다.

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