계산 가능한 시퀀스를 (한계 적으로) 예측하는 것이 정지 문제만큼 어렵습니까?

질문 : 계산 가능한 시퀀스를 예측하는 것 (아래 정의 참조)이 정지 문제만큼 어렵습니까?

정교 : "예측"은 성공적으로 예측하는 것을 의미합니다. 즉, 이전 n-1 비트에 대한 액세스 권한이 주어지면 시퀀스의 n 번째 비트를 예측하려고하는 작업 (제 1 비트에서 시작하여 전체 무한 계산 가능 시퀀스).

튜링 머신 예측기 p에 대해 간단한 대각선 화 주장 (Legg 2006으로 인해)에는 수많은 오류가 발생하는 계산 가능한 시퀀스가 ​​있습니다. (n 번째 항으로서 p가 시퀀스에서 이전 n-1 항에 대해 주어진 것과 반대되는 시퀀스를 구성하십시오.) 따라서 모든 계산 가능한 시퀀스를 예측하는 계산 가능한 예측자는 없습니다. 중지 오라클은 이러한 예측 변수의 구성을 허용합니다. 그러나 이러한 예측 변수를 사용하면 중지 문제를 해결할 수 있음을 보여줄 수 있습니까?

더 정교

정의 (레그) 예측기 p는 시도는 일련의 n 번째 비트는 이전 N-1 비트에 대한 액세스를 부여 S 예측하는 것을 튜링 기계이다. 예측이 시퀀스의 n 번째 비트와 일치하지 않으면이를 실수라고 합니다. p 가 S에 대해 단지 많은 실수를한다면 p 는 S를 예측 한다고 말할 것이다 . 다시 말하면, p는 m> M마다 st 시퀀스에 수 M이 있으면 S를 예측하고, p는 S의 m 번째 비트를 정확하게 예측한다 첫 번째 m-1 비트에 대한 액세스 권한이 주어집니다.

공식적으로 예측기 시스템을 3 개의 테이프로 정의 할 수 있습니다. 시퀀스는 한 테이프에서 비트 단위로 입력으로 입력되고 다음 비트에 대한 예측은 두 번째 테이프 (기계가이 테이프를 가로 질러서 만 이동할 수 있음)에서 이루어지며 기계에 작업 테이프가 있습니다. 양방향으로 이동할 수 있습니다.

간단한 결과
위의 정의에는 모든 유리수를 예측하는 예측 변수가 있습니다. (이성표의 표준 지그재그 열거 형을 사용하십시오. 실수가 있으면 목록에서 첫 번째 이성을 예측하여 시작하십시오. 실수가 있으면 다음 이성표로 이동하십시오.) 비슷한 주장으로, N에 액세스 할 수있는 예측 변수가 있으며, N보다 작거나 같은 콜로 모고 로프 복잡성의 모든 시퀀스를 예측할 수 있습니다. (모든 N 비트 기계를 병렬로 실행하고 먼저 정지하는 기계의 예측 극소수의 오류 만 만들 수 있습니다).

인용 Shane Legg 2006 http://www.vetta.org/documents/IDSIA-12-06-1.pdf (이 게시물의 저자 아님)

실제로 이것은 정지 문제를 해결하는 것보다 쉽습니다.

하자 모든 총 계산 가능한 함수에 대한 모든 계산 가능한 기능을 지배하는 기능, 즉, 수 , 우리가 가진 모든하지만 유한 한 많은 , . 엄격하게, 중단 문제보다 더 튜링 정도를 낮출 예를 들어 Soare의 책을 볼 수있는 등의 기능이 존재하는 표준 사실이다 재귀 Enumerable에서 세트 및 학위를 . 이것을 높은 튜링도 라고합니다 .$f:\mathbb N\rightarrow\mathbb N$$g:\mathbb N\rightarrow\mathbb N$$n$$g(n)\le f(n)$

하자 , 중 일부 계산 가능 함수의 표준 목록이 행 .$\varphi_e$$e\in\mathbb N$$\mathbb N$$\{0,1\}$

이제 를 사용하여 예측 변수 생성합니다 .$f$$p$

$p(a_0,\ldots,a_{k-1})$ 어떤 번호로 선택 시퀀스 만들도록 동의 가능한 최소 입니다. 중단 계산이 중단 될 때까지 기다릴 수 없으므로 단계 ( 많은 계산 단계) 까지 계산 만 모니터링합니다 . 그런이없는 경우 우리는 단지 세트 임의 (말 ).$a_{k}\in \{0,1\}$$a_0,\ldots,a_k$$\varphi_t(0),\ldots,\varphi_t(k)$$t\le k$$f(k)$$f(k)$$t$$a_{k}$$=0$

이제 가 실제로 관찰되는 계산 가능한 시퀀스를 계산하도록 가 최소 라고 가정하십시오 . 그렇다면 우리는하지만 유한 한 많은 것임 사용은 따라서 올바른 선택 하기 때문에, 지배 실행 시간 함수 에 대한 , 즉 최소 스테이지 여기서 갖는다 멈췄다.$q$$\varphi_q$$k$$t=q$$a_{k}$$f$$\varphi_q$$s(n)=$$\varphi_q(n)$