시프트 체인은 두 가지 색상입니까?

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용 나타내고 의해 의 작은 소자 . $A\subset [n]$ $a_i$ $i^{th}$ $A$

두 개의 요소 세트 에 대해 모든 대해 경우 라고 말합니다 . $k$ $A,B\subset [n]$ $A\le B$ $a_i\le b_i$ $i$

-uniform의 하이퍼 그래프 불리며 시프트 쇄상 어느 간선 들어, , 우리가 또는 . (그래서 시프트 체인에는 최대 하이퍼에지가 있습니다.) $k$ ${\mathcal H}\subset [n]$ $A, B \in {\mathcal H}$ $A\le B$ $B\le A$ $k(n-k)+1$

하이퍼 에지가 단색이 아닌 두 가지 색상으로 정점을 채색 할 수 있다면 하이퍼 그래프 는 두 가지 색상을 가질 수 있습니다 (또는 속성 B가 있음). ${\mathcal H}$

가 충분히 크면 시프트 체인이 2 색인 것이 사실 입니까? $k$

비고 나는이 문제를 mathoverflow 에 처음 게시 했지만 아무도 그것에 대해 언급하지 않았습니다.

문제는 일부 결과에 대해서는 1st Emlektabla Workshop에서 조사되었습니다 . 소책자를 참조하십시오 .

이 문제는 볼록한 모양의 변환으로 평면의 여러 덮개를 분해하여 동기가 부여되며이 영역에는 많은 공개 질문이 있습니다. (자세한 내용은 박사 학위 논문을 참조하십시오 .)

들면 $k=2$ 사소한 반례있다 : (12), (13), (23).

컴퓨터 프로그램을 사용하여 Radoslav Fulek가 $k=3$ 에 대해 매우 마술적인 반례를 제시했습니다 .

(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),

(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789).

하이퍼 그래프가 두 개의 시프트 체인 (동일한 순서로)의 합집합을 허용하면 $k$ 에 대한 반례가 있습니다.

최신 정보. 나는 최근 에이 프리 프린트 에서 더 제한된 버전의 시프트 체인이 두 가지 색상을 가질 수 있음을 보여주었습니다 .

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co.combinatorics graph-colouring hypergraphs

— 도모토
소스

2

속성 B는 일반적으로 2 색성이라고합니다.

— Colin McQuillan

1

@Colin McQuillan :“Property B”라는 이름을 들어 본 적이 없어서 그렇게 생각했습니다. 그러나 "속성 B"는 문헌에서 일반적인 이름 인 것 같습니다. en.wikipedia.org/wiki/Property_B

— 이토 쓰요시

2

나는 정정되었다. 나는 틀린 대답도 삭제했습니다.

— Colin McQuillan

13

이것은 답이 아닙니다. 다음은 k = 3의 구성이 실제로 반례 라는 간단한 증거입니다 . 나는 asker 가이 증거를 알고 있다고 생각하지만 증거가 좋기 때문에 어쨌든 게시 할 것이며 사람들이 더 큰 k 의 경우를 고려할 때 유용 할 수 있습니다 .

그것이 쉬프트 체인인지 쉽게 확인할 수 있습니다. 속성 B가 없다는 것을 보여 드리겠습니다.

실제로, 서브 하이퍼 그래프 {(123), (145), (245), (345), (346), (347), (357), (367), (467), (567), (568), (569), (789)}는 이미 속성 B를 충족시키지 못합니다.이를 확인하려면이 하이퍼 그래프에 2 색이 있고 c _i를 꼭짓점 i 의 색으로 가정합니다 . 3 개의 하이퍼 에지 (145), (245), (345)를보십시오. 경우 C ₍₄₎ = (C) _(5)는 , 모든 1, 2 및 3과는 반대의 색이어야 C ₄ 있지만, 이것은 단색 하이퍼 간선 (123)을 수득한다. 따라서 c ₄ ≠ c _{5 인} 경우 여야합니다 . 비슷하게,

₃ 개의 하이퍼 에지 (345), (346), (347)를 비교하고 하이퍼 에지 (567)를 알아 냄으로써 c ₃ ≠ c ₄
c ₆ ≠ c ₇ 3 개의 하이퍼 에지 (367), (467), (567)를 비교하고 하이퍼 에지 (345)를 알아 냄.
3 개의 하이퍼 에지 (567), (568), (569)를 비교하고 하이퍼 에지 (789)를 알아 냄으로써 c ₅ ≠ c ₆ .

따라서 c ₃ ≠ c ₄ ≠ c ₅ ≠ c ₆ ≠ c _7이 있습니다. 그러나 이것은 c ₃ = c ₅ = c ₇ 을 의미하여 하이퍼 에지 (357)를 단색으로 만듭니다. 이것은 2 색의 가정과 모순된다.

— 이토 츠요시
소스

3

아주 훌륭하게 말하면, asker는 당신의 증거를 좋아합니다. 적어 주셔서 감사합니다!

— domotorp

1

아마도 뭔가 빠졌지 만 확률 적 인 방법에는 좋은 하한이 있다고 생각합니다.

당신이 확률을 개별적으로 각 꼭지점 색상 경우 각 색상에 대한 귀하의 확률로 단색 가장자리가 $1/2$ . 으로로바 츠 로컬 표제어는 변속 체인 속성 가지고 얻을경우 $2 \cdot (\dfrac{1}{2})^k = 2^{-k+1}$ $B$ 이 부등식을 직접 풀 수는 없지만이면 왼쪽에와같은 것이있고 오른쪽에(so 불평등은만큼 크면 충분하다).

k (n - k) + 1 \leq \frac{2^{k - 1}}{e} - 1.

$k(n-k)+1 \leq \dfrac{2^{k-1}}{e}-1.$

k = Ω (\log (n))

$k = \Omega(\log(n))$

n \log (n)

$n \log(n)$

n^{c}

$n^c$

n

$n$

의 더 나은 경계 가 있습니다 $O(\sqrt{k/\ln(k)} \cdot 2^k)$ $k$ $B$

— 마크 베리
소스

2

k가 n에 비해 충분히 큰 경우, 그 진술은 사실입니다 (예 : k = n). 문제는 k가 절대 상수보다 큰 경우, 즉 4이면, 그 문장이 모든 n에 대해 참임을 증명하는 것입니다.

— domotorp

좋아, 그럼 그냥 대답을 무시하십시오 :)

— Marc Bury