read-once 의사 결정 트리에 대한 동등성 문제의 복잡성은 무엇입니까?

1 회 읽기 결정 트리는 다음과 같이 정의됩니다.

및 는 1 회 읽기 결정 트리입니다. $True$ $False$
경우 와 의사 결정 트리 일단 읽기되고 발생하지 변수입니다 와 , 다음 또한 읽기 번 의사 결정 트리입니다. $A$ $B$ $x$ $A$ $B$ $(x \land A) \lor (\bar x \land B)$

입력 : 두 개의 읽기 번 의사 결정 트리 와 . $A$ $B$
출력 : ? $A \equiv B$

자극:

이 문제는 Linear Logic 조각의 증명 등가 문제 (규칙의 순열)를 보면서 나타났습니다.

— 마크
소스

감소 된 이진 결정 다이어그램을 사용할 수 없습니까? 편집 : 실수, 아마 당신의 변수는 주문되지 않습니다 ...

— Sylvain

@Kaveh Nope, 증명 이론에서 발생합니다 : 나는 Linear Logic 조각의 증명 등가 문제 (규칙의 순열)를보고 있습니다. 이 부울 문제로 귀결됩니다. 나는 전문가가 아니기 때문에 이것이 잘 알려진 질문인지 물어볼 것이라고 생각했습니다. 따라서 나는 더 잘 모르기 때문에 이름을 만들었습니다.

— Marc

@Marc, 일반적으로 문제에 관심이있는 이유를 설명하는 것이 좋습니다. 질문을 편집했습니다. 그것이 좋은지 확인하십시오. (또한 더 이상 필요하지 않으므로 이전 의견을 제거하십시오.)

— Kaveh

@Kaveh 그래, 미안하다. 나는 (당신이 OK 인 경우는이 일을 더 쉽게 보였다 그래서 즉시 알 수없는) 내 원래 인수에 가까운 그것을 확인하기 위해 재 형성을 편집

— 마크

답변:

부분 해결책을 찾았습니다. 문제는 L입니다.

부정의 동일하다 과 동등하다 모두 IFF $A \leftrightarrow B$ $(\bar A \land B) \lor (A \land \bar{B})$ $False$ 및 이다. $(\bar A \land B)$ $(A \land \bar{B})$

대한 1 회 읽기 결정 트리는 대한 1 회 읽기 결정 트리에서 얻을 수 있습니다 $\bar{A}$ $A$ 전환 및 에 . 이것은 로그 공간에서 수행 할 수 있습니다. $True$ $False$ $A$

있는지 확인하려면 에 equivlent 인 (유사에 대한 ) 우리는 쌍 모두를 통해 실행 잎, 각 나무에서 하나를, 그들이 호환되는지 있음 (확인 가 없는가? $\bar A \land B$ $False$ ${A} \land \bar{B}$ $True$ $x$ 경로 중 하나에 다른 경로에 ). 그것은 동일합니다 우리가 호환되는 쌍을 찾을 IFF에. 이것은 로그 공간에서 수행 할 수 있습니다. $\bar x$ $False$

따라서 문제는 적어도 L입니다.

편집 : 아마 감소 하에서 L- 완전하다는 것을 증명할 아이디어가 있습니다 . 그러나 세부 정보를 확인해야하며 여기에 맞지 않습니다. 내가 쓰고있는 기사에 대한 링크를 게시 할 것입니다! $AC_0$

EDIT2 : http://iml.univ-mrs.fr/~bagnol/drafts/mall_bdd.pdf

따라서 문제는 실제로 Logspace-complete입니다.

— 마크
소스

이 부정을 어떻게 얻습니까? 의 부정

는

여야합니다

, 즉

x . A + \bar{x} . B

$x.A+\overline{x}.B$

(\bar{x} + \bar{A}) . (x + \bar{B})

$(\overline{x}+\overline{A}).(x+\overline{B})$

x . \bar{A} + \bar{x} . \bar{B} + \bar{A} . \bar{B}

$x.\overline{A}+\overline{x}.\overline{B}+\overline{A}.\overline{B}$

— Denis

@Denis : 오타라고 생각하면 수식이

단순화됩니다

이므로 실제로 0과 1을 잎에서 뒤집어서 부정을 계산합니다.

x . \bar{A} + \bar{x} . \bar{B}

$x.\bar A+\bar x.\bar B$

— 니콜라스 페린

@ AndrásSalamon 실제로 잎의 수는 공식의 크기와 선형이 아니기 때문에 나무의 균형에 관계없이 잎을 식별하기 위해 로그 비트 수가 필요합니다. 그럼 당신은 단지 문제가 변수가 있는지 확인 (하나의

경로에하고

다른 한편)의 각 쌍에 대한

. 각 쌍에 대해 문제가있는 변수를 추측해야하기 때문에 문제가 있다고 생각했지만 실제로는 하나씩 차례로 시도 할 수 있습니다 . 변수 수는 선형이기 때문에

유지됩니다 .

x

$x$

\bar{x}

$\overline{x}$

1

$1$

L

$L$

— Denis

보다 쉬운 방법은 다음과 같습니다. 각 경로는 리프 레이블에 따라 최소 또는 최대입니다. 우리는 그들이 같은 최소 기간을 가지고 있는지 확인합니다. 로그 공간에 최소 용어를 열거하고 두 개의 최소 용어가 동일한 지 로그 공간에 있는지 확인할 수 있습니다.

— Kaveh

노드가

의 다른 노드의 조상인지 확인할 수 있도록 트리 표현을 사용하는 경우 실제로

(또는

)에서 수행 할 수있는 것 같습니다 (예 : 회로에 대한 확장 연결 언어).

N C^{1}

$NC^1$

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

— Kaveh

ITE 수식 에서 다 항적으로 축소 된 할당 목록을 계산하여 모든 평가를 설명 할 수 있습니다. $\phi$

그렇게하려면 수식에 변수로 레이블이 지정된 노드가 있고 트리가 과 남겨진 트리로 봅니다 . 왼쪽 분기는 변수를 true로 설정하는 "then"부분이고 오른쪽 분기는 변수를 false로 설정하는 "else"부분입니다. 떠나 선도 각 분기 부분 assignement 변수 세트에 의해 예를 들어 표지 된 것 . 수식에서 이러한 모든 세트의 목록을 계산하는 것은 다항식입니다. 그런 다음 다른 세트에 포함 된 세트를 제거하고 변수가 다른 세트를 병합하여이 목록의 일반 양식을 계산할 수 있습니다. if $0$ $1$ $1$ $\{x,\overline{y},z\}$ 및 가 있으면이를 병합하여 유지할 수 없습니다. 이 규칙은 다시 안정화 될 때까지 적용되며이 절차는 다항식입니다. $\{x,\overline{y},z\}$ 가 목록에 있으면 제거하고 추가하면 값에 관계없이 작동합니다. 그러나 및 $\{x,y,z\}$ $\{x,z\}$ $y$ $\{x,\overline{y},z,t\}$ $\{x,y,z\}$

마지막으로 변수 에서 임의의 순서를 선택하고 를 의 가중치 라고 합니다 . 목록의 가중치는 목록에 나타나는 모든 가중치의 합계입니다 (다중 값 포함). 일반적인 형태의 총 중량을 최소화하기 위해 가능할 때마다 "회전"을 적용하십시오. 회전은 를 $\{x_1,\dots,x_n\}$ $i$ $x_i$ $\{\vec x,x_i,x_j\},\{\vec x,\overline{x_j}\}$ 와 ( 리스트이고, 및 또한 변수를 무효화 할 수있다). 우리는 그것이 총 중량을 만큼 줄인다는 것을 알 수 있습니다. 바라건대 이제 정상적인 형태는 독특하기 때문에 나중에 공식적인 증거를 시도 할 것입니다. $\{\vec x,x_i\},\{\vec x,\overline{x_i},\overline{x_j}\}$ $i<j$ $\vec x$ $x_i$ $x_j$ $j-i$

그런 다음 두 정규식이 동일한 정규 양식 할당 목록을 갖는 경우 동등합니다. 따라서 귀하의 문제는 에있는 것 같습니다 . $P$

— 데니스
소스

안녕하세요, 귀하의 답변에 감사드립니다. 나무가있는 첫 번째 부분은 실제로 문제를 보는 좋은 방법입니다. 그러나 두 번째 부분은 효과가 없습니다. 예를 들어 일반적인 형태는 고유하지 않습니다.

입니다. ITE 수식에 대해서는 특정 기능이 작동 할 수 있습니다. 그러나 그것이 coNP 완료 인 모든 모노 미널의 동등성을 해결할 것이라고 나는 믿는다.

x, y, z

$x,y,z$

x, \bar{y}, z

$x,\bar y,z$

x, y, \bar{z}

$x,y,\bar z$

— Marc

아 네, 잊어 버렸습니다. 지금 작동하기를 바라고 수정 프로그램을 추가하고 있습니다.

— Denis

그것이 작동하면 백만 달러를 청구하는 것을 잊지 마십시오 :)

— Marc

그렇습니다. 분명히

의 문제를 coNP- 완전한 문제로 줄였습니다. 효율성을 위해서 ...

L

$L$

— Denis