Kolmogorov 이론의 복잡성 비교

Chaitin의 불완전 성이 정리 산술없이 충분히 강력한 이론을 증명할 수 있다고 어디에 K ( 들 ) 문자열의 콜 모고 로프의 복잡성 들 과 L이 충분히 큰 상수이다. L 은 PCM (Proof Checking Machine)의 비트 크기보다 큰 경우 충분히 크다 . 이론 T 의 PCM 은 정수로 인코딩 된 문자열을 입력으로 취하고 문자열이 T 언어의 유효한 증거인 경우 1을 출력합니다 .$K(s) > L$$K(s)$$s$$L$$L$$T$$T$

그 가정 이론 T는 상단의 복잡성 행입니다 T를 . 다음 이론의 계층 구조를 고려하십시오. 기본 이론을 로빈슨 산술 ( Q )로 설정하십시오. 오그 Q 다항식 경계 유도 점점 강해 공리. Q * 가 Q 와 이러한 유도 된 유도 공리로 증명 될 수있는 이론의 이론 이라고합시다 . L ( Q ) 과 L ( Q ∗를 정의 할 수 있다고 가정하자$L(T) > |PCM_T|$$T$$T$$Q$$Q$$Q^*$$Q$$L(Q)$ 각 이론에 대한 PCM을 정의하여.$L({Q^*})$

대한 향상된 증명 검사기 (EPCM)를 고려하고 싶습니다 . 이 EPCM 단지 ECM과 같은 문자열을 입력 및 하위 이론 순위 레벨을 정의하는 제 2 입력 갖는다 Q *을 . 입력 문자열이 Q * 의 유효한 증명 인 경우 EPCM은 증명 단계를 거쳐 사용 된 최고 등급 및 유도 수준을 결정합니다. 입력 문장이 지정된 서브 이론 유효한 증거 EPCM 경우는 1을 기록 Q는 * .$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$

내가 설명하는 강화 된 증명 검사기가 가능한가? 그렇다면,이 EPCM의 크기는 것입니다 상위 단지의 복잡성하지 바인딩 뿐만 아니라 상위의 하위 이론의 복잡성에 바인딩 Q * ?$Q^*$$Q^*$

그 상부의 복잡성에 결합 상수가 말하는 것이 합리적이다 와 서브 이론 모두?$Q^*$

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이 질문은 넬슨의 산술 불일치에 대한 실패한 증거에서 비롯된 것입니다. 어떤 사람들은 그 증거가 혼란 스럽기 때문에 이것을 일찍 지적하지 않았습니다. 저의 동기는 흥미로운 질문을하는 것입니다. CSTheory가이 질문에 대한 올바른 포럼 인 것 같습니다. 복잡성 와 서브 이론 모두 또는 어느 일정한 바운드에 의해 제한된다. 어느 쪽이든 대답하면 더 많은 질문이 생깁니다.$Q^*$

하위 이론의 복잡성을 억제 할 경우 우리의 가장 약한 하위 이론이 무엇인지 등의 질문을 요청할 수 있습니다 보다 더 복잡 Q를 * ? 아니면 PA와 ZFC보다 더 복잡한가? 이 질문에 대해 생각하면 이미 Kolmogorov 현의 복잡성에 대해 이론이 얼마나 많은 것을 증명할 수 있는지에 대한 심각한 한계가 있음을 보여주었습니다. 경우 Q는 * 증명할 수 하위 이론 일관된 사항도 없다 K ( S ) > L ( Q *가 ) 모든 문자열은. 이것은 정말로 강한 하위 이론조차도 약한 이론이 Q 보다 복잡한 일부 약한 하위 이론보다 더 복잡한 문자열이 있음을 증명할 수 없음을 의미합니다.$Q^*$$Q^*$$Q^*$$K(s) > L(Q^*)$ .$Q^*$

나는이 질문에 대한 답을하려고 노력할 것이며, 그 질문의 정확한 형태에 대한 혼란을 없애려고 노력할 것입니다.

내가 만들고 싶은 첫 번째 포인트 : Chaitin 상수의 진술 에서 은 실제로 T 의 함수입니다 . 에서 절대적인 의미 그것은의 표현에서 단조 T 경우 : L ( T는 ) 은 IS 작은 자연 번호 T ⊬ K ( S ) ≥ L ( T ) 임의의 문자열 들 , 다음 경우 T는 ' 일관된 이론적 인 T 보다 강하다 ( T ⊢ φ는 T '를 암시 함$L$$T$$T$$L(T)$

$$T\not\vdash K(s)\geq L(T)$$ $s$$T'$$T$$T\vdash\varphi$모든 산술 문장에 대해 ⊢ $T'\vdash\varphi$ )에한 다음 L ( T ' ) ≥ L ( T ) . 주장은 매우 간단하다 : 존재한다면 이야 되도록 T ⊢ K ( S ) ≥ L 후 T ' ⊢ K ( S ) ≥ L 가설.$\varphi$$L(T')\geq L(T)$$s$$T\vdash K(s)\geq L$$T'\vdash K(s)\geq L$

그러나 이것은 가 절대 Chaitin 상수 인 경우에만 해당됩니다 . 특히, 만약 T ' 증명 C를 O를 N ( T ) 후 T ' ⊢ ∃ L ∀ S ⌈ T ⊬ K ( ¯ S ) ≥ ¯ L$L(T)$$T'$$\mathrm{Con}(T)$

$$T'\vdash \exists L\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq \overline{L}\rceil$$

차이 틴의 주장을 내면화함으로써. 그러나 하는 콘크리트 에 대한$l$

$$T'\vdash\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq\overline{l}\rceil$$

일반적으로 과 같지 않습니다$L(T)$ . 특히, T ' 에서 C o n ( T ) 의 증거의 크기에 비례하여 훨씬 더 클 수있다.$\mathrm{Con}(T)$$T'$ . 이것은 정리 자체의 증거에서 쉽게 볼 수 있으며, 이는 의 일관성에 결정적으로 의존합니다 .$T$

그래서 동안 경계 유도하여 시스템의 일관성을 증명할 수있는, 이러한 증거의 길이가 도착 이상 가까이 당신이 얻을 Q * 표현력에 (불완전의 정리를 이해하는 한 가지 방법은 당신이 도달했을 때 길이가 무한하게한다는 것입니다 Q *를 , 따라서 Q * 자체 의 유한 일관성 증명은 없습니다 . 따라서 내부 L ( T ) 의 다양한 상한에도 동일하게 적용됩니다. Q * 각 하위 이론에 대해 설명 할 수 있습니다.$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$ $L(T)$$Q^*$

따라서 귀하의 질문에 대한 짧은 대답은 다음과 같습니다. 는 Q ∗ 의 모든 하위 이론에 대해 균일하게 제한 되지만 Q $L(T)$$Q^*$$Q^*$ 자신이 바운드는 이러한 모든 subtheories을 위해 보유하고 있음을 표시 할 수 없습니다. 이것은 넬슨이 만들어 낸 중대한 실수였으며 (여러 계층의 형식주의로 매장 됨) 타오는 여기서 지적했다 .