람다 미적분학은 계산의 직관적 개념을 정확히 어떻게 포착합니까?

-calculus 가 무엇인지, 왜, 어떻게 사용되는지에 대해 머리를 감싸려고 했지만 "왜 작동합니까?"를 이해하지 못했습니다.$\lambda$

"직관적으로"나는 Turing Machines (TM)의 계산 모델을 얻는다. 그러나이 -abstraction은 나를 혼란스럽게합니다.$\lambda$

TM이 존재하지 않는다고 가정합시다. 그러면 계산법이라는 개념을 포착하는 -calculus의 능력에 대해 어떻게 "직관적으로"확신 할 수 있을까요? 모든 기능과 그 기능에 대한 많은 기능을 갖는 것이 계산 성을 의미하는 것은 무엇입니까? 내가 여기서 무엇을 놓치고 있습니까? 나는 Alonzo Church의 논문을 읽었지만 여전히 혼란스럽고 더 똑같은 이해를 찾고 있습니다.$\lambda$

당신은 좋은 회사에 있습니다. Kurt Gödel은 -calculus (및 자신의 일반적인 재귀 함수 이론)가 직관적이지 않거나, 무슨 일이 일어나고 있는지 충분히 설명 할 수 없다는 이유로 계산 가능성에 대한 만족스러운 개념이 아니라고 비판했다 . 반대로, 그는 Turing의 계산 능력에 대한 분석과 그에 따른 기계의 개념이 완전히 설득력이 있음을 발견했습니다. 따라서 걱정하지 마십시오.$\lambda$

반면, 계산 모델이 어떻게 작동하는지에 대한 아이디어를 얻으려면 일부 프로그램을 작성하는 것이 가장 좋습니다. 그러나 -calculus 에서 수행 할 필요는 없지만 재미는 있지만 (firewalking과 같은 방식으로). Haskell과 같은 -calculus 의 현대 자손을 사용할 수 있습니다 .$\lambda$$\lambda$

당신은 그것에 프로그램! 교회 인코딩을 살펴보십시오 . 모든 산술을 얼마나 많이 수행 할 수 있는지 볼 수 있으며, 이것이 매우 강력하다는 것을 확신시켜 줄 것입니다. 그러나 목록에 대한 작업을보고 싶습니다. 가장 중요한 작업을 수행하는 함수와 관련하여 대부분의 데이터 구조를 정의 할 수 있습니다.

예를 들어, 목록의 인코딩은 그 위에 접히는 접기 기능입니다. 이것은 교회의 인코딩이 아니라 Percie의 유형과 프로그래밍 언어에서 얻은 것입니다. 교회의 쌍 인코딩은 우리에게 재귀를 제공하지 않습니다. 우리는 일종의 재귀 조합기로 다시 추가해야합니다.

따라서리스트에는 두 가지 인수, 즉 접기를 수행하는 함수와 어떤 시점에서 접기에 연결하는 초기 값이 필요합니다.

cons x xs = lam f. lam a. f x (xs f a)
nil       = lam f. lam a. a

이제 add 함수가 주어지면 합계를 정의 할 수 있습니다 (위의 교회 인코딩 참조)

sum xs = xs add 0

더 많은 일을하고지도 기능을 정의 할 수 있습니다

consApply f x xs = cons (f x) xs
map f xs = xs (consApply f) nil

여전히 계산이 진행되고 있다고 확신하지 못하고 계산을 수행 할 수 있는지 확인 하려면 고정 소수점 조합기를 확인하십시오 . 때로는 생각하기가 다소 어려워서 직관적이라고 부를 수는 없지만 일부 인수로 수동으로 평가하면 무슨 일이 일어나고 있는지 알 수 있습니다.