양자 행렬 곱셈?

이것이 알려진 것처럼 보이지는 않지만 양자 컴퓨팅 모델에서 행렬 곱셈의 복잡성에 대한 흥미로운 하한이 있습니까? 양자 컴퓨터를 사용하여 Coppersmith-Winograd 알고리즘의 복잡성을 극복 할 수있는 직관이 있습니까?

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— 헨리 위엔
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답변:

에서는 arXiv : pH가 정량적 / 0409035v2 Buhrman Spalek 및 출력 행렬이 거의 제로가 아닌 엔트리를 갖는 경우에 카퍼 - Winograd 알고리즘 구타 양자 알고리즘을 제시한다.

업데이트 : Dörn과 Thierauf에 의해 약간 개선 된 양자 알고리즘도 있습니다 .

업데이트 : Burhman과 Spalek을 일반적으로 때리는 Le Gall 의 향상된 양자 알고리즘이 있습니다.

— 마틴 슈워츠
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이것은 나에게 새로운 것이었지만 (양자 결과에 대해서는 거의 알지 못했지만) 논문을 보니 결과가 훨씬 놀랍습니다! 위한 경우 행렬 곱셈, 거기에 출력 항목 제로 제품이 계산 될 수있는 서브 차 시간 .

A_{n x m} B_{m x n} = C_{n x n}

$A_{nxm}B_{mxn}=C_{nxn}$

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

o (n m)

$o(nm)$

— Daniel Apon

부울 매트릭스 곱의 특별한 경우 인 min { }에 대해 약간 개선되었습니다. 출력에 아닌 0 이 있습니다 . (우리의 FOCS'10 논문``경로, 행렬 및 삼각형 문제 사이의 서브 큐빅 동등성 ''에 게재되었습니다.)

n^{1.3} w^{17 / 30}, n^{2} + w^{47 / 60} n^{13 / 15}

$n^{1.3}w^{17/30}, n^2 + w^{47/60} n^{13/15}$

w

$w$

— virgi

부울 매트릭스 제품의 경우 의 최근 개선 사항 은 arxiv.org/abs/1112.5855 이며, 하한과도 일치합니다.

n w^{1 / 2}

$nw^{1/2}$

— Abel Molina

두 개의 행렬을 곱하고 고전적인 결과를 얻는 데 관심이 있다면 Martin의 대답은 아마도 귀하의 질문에 대한 결정적인 대답 일 것입니다. 그러나 와 같은 것을 계산 하려면이 작업을 매우 효율적으로 수행 할 수 있습니다. Harrow, Hassidim 및 Lloyd에는 희소 행렬에 대한 행렬 의 차원에서만 로그인 를 계산하기위한 알고리즘 ( arXiv : 0811.3171 ) 이 있습니다. 제품을 계산하기 위해이 방법을 반대로하는 것이 비교적 간단 해 보입니다. $v^\dagger X Y v$ $v X^{-1} v$ $X$

— 조 피츠 시몬스
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이 경우 런타임은 여전히 행렬의 조건 수에 의존하며 행렬에는 복잡한 항목이 있어야합니다. 또한 X와 Y가 드문 경우, 제품도 으며 는 랜덤 샘플링을 사용하여 같은 종류의 지수 속도로 고전적으로 추정 할 수 있습니다.

v^{'} X Y v

$v'XYv$

— Aram Harrow

@Aram : 좋은 지적입니다! 알고리즘이 희소 행렬에 대해 작동한다는 것을 알고 있지만 희소 행렬이 아닌 행렬에서도 작동 할 수 있다는 인상을 받았습니다. 이 올바른지?

— Joe Fitzsimons

그렇습니다. 해밀턴 사람들을 시뮬레이트하는 좋은 방법을 알 때마다 희소 행렬이 아닙니다. 아마도 여기서 사소한 것이 가능할 것입니다.

— Aram Harrow

@Aram : 인코딩을 사용하면 QFT를 통해 모든 희소 행렬의 푸리에 변환을 얻지 않습니까?

— Joe Fitzsimons

@ 조 : 나는 방금 이것을 알아 차렸다. 예, 모멘텀 기준으로 희박하다고 생각할 수있는 행렬도 사용할 수 있습니다. 이것은 알고리즘에 고유 한 것이 아닙니다. 오히려 이것은 양자 컴퓨터에서 시뮬레이션하는 방법을 알고있는 Hamiltonian 클래스에 대한 진술입니다.

— Aram Harrow 2016 년