시스템 F는 어떤 기능을 계산할 수 없습니까?

튜링 완전성에 대한이 위키 백과 기사 에서는 다음과 같이 설명합니다.

형식화되지 않은 람다 미적분은 튜링 완료이지만 시스템 F를 포함한 많은 형식화 된 람다 미적분은 그렇지 않습니다. 유형이 지정된 시스템의 가치는 더 많은 오류를 감지하면서 가장 일반적인 컴퓨터 프로그램을 나타내는 능력에 기초합니다.

시스템 F로 계산할 수없는 총 계산 함수의 예는 무엇입니까 ?

또한 hindley-milner는 다음과 같습니다.

시스템 F의 제한

다음과 같은 사실 때문에 :

System F의 Curry 스타일 변형, 즉 명시적인 타이핑 주석이없는 변형에 대해서는 유형 검사를 결정할 수 없습니다.

이것은 hindley-milner 유형 시스템의 기본이되는 람다 미적분학이 완전하지 않은 것을 의미합니까?

이것이 사실이라면, 하스켈 이 분명히 터링을 완료하고 그것이 람다 미적분학과 힌들리-밀너 타입 시스템의 기초라는 것을 알고 있기 때문에, 람다 미적분학에 존재하지 않는 어떤 특징들이 하스켈 튜링을 완성시키기 위해 추가됩니까?

시스템 는 매우 표현력이 좋습니다. 지라 의해 입증 된 바와 같이 여기 입력의 함수 N → N ( N은 정의된다 ∀ X . X → ( X → X ) → X )되어 정확하게 정의 기능 ( N → N 번째 순서 Heyting 산술) H 2 . 이는 2 차 Peano 산술로 정의 할 수있는 함수와 동일합니다 .$F$$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$$\mathbb{N}$$\forall X.\ X\rightarrow (X\rightarrow X)\rightarrow X$$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$$\mathrm{HA}_2$

증명 및 유형 을 더 읽기 쉬운 참조로 확인하고 싶을 것입니다 . 이것은 Ackermann 함수에서 Gödel의 시스템 T에 대한 인터프리터에 이르기까지 많은 프로그램을 시스템 F로 작성할 수 있음을 의미합니다 . 전체 프로그래밍 언어 (약간의 온화한 조건)에서 시스템 F 는 자체 통역사를 구현할 수 없습니다 . 즉, 함수 e v a l : N → N 은 시스템 F 의 용어 t 에 대한 코드를 입력으로 받아 ( a) t의 정규형$T$$F$$\mathrm{eval}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$$t$$F$$t$. 증거는 중지 문제의 결정 불가능 성을 위해 사용 된 대각 트릭의 변형을 포함합니다. Andrej는 여기에 아름답게 설명합니다 .

다른 질문에 대답하려면 : Hindley-Milner (HM) 언어 의 -calculus도 튜링이 완전하지 않습니다. 실제로 이것은 시스템 F 보다 훨씬 약하며 , 단순하게 입력 된 λ- 미적분 에 대한 표현력에 더 가깝습니다 .$\lambda$$F$ $\lambda$

Haskell은 실제로 Turing이 완료되었습니다. 이것을 가능하게하는 가장 두드러진 특징은 (다른 것들도 있지만) 무제한 재귀 가 있다는 것입니다 . 모든 프로그램 (기능)의 정의는 프로그램 자체를 참조 할 수 있습니다. 이것은 간단하게 입력되지만 결합기와의 튜링 완전성을 유지하는 PCF 의 정의에서 수행되는 것과 같은 결합기를 추가하는 것과 유사합니다 .$Y$$Y$

Haskell Turing을 완성시키는 다른 기능이 있지만, 일반적으로 핵심 언어의 일부로 사용되지는 않습니다 (예 : 함수에 대한 참조, 무제한 데이터 유형 등).

하스켈의 타이핑 시스템이 "힌리 밀너 타입 시스템"이라고 말하는 것은 다소 오해의 소지가 있습니다. Haskell의 유형은 다른 유형의 고급 유형을 포함하여 훨씬 강력합니다. 실제로 타이핑 시스템은 매우 강력하여 타이핑 시스템에 Turing-complete 프로그래밍 언어를 포함시킬 수 있습니다 ( 여기 참조) . 이것이 하스켈의 힘에 대한 유일한 이유는 아니며 코디는 다른 사람들을 언급했다.