일반 그래프에서 완벽한 매칭을위한 결정적 병렬 알고리즘?

복잡성 클래스 에는 클래스 에 속하지 않는 것으로 추정되는 몇 가지 문제 , 즉 결정 론적 병렬 알고리즘 문제가 있습니다. 최대 흐름 문제가 한 예입니다. 에있을 것으로 예상되는 문제가 있지만 아직 증거를 찾을 수 없습니다.$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NC}$

완벽한 매칭 문제는 그래프 이론에서 제기 된 가장 근본적인 문제 중 하나입니다 : 그래프 주어진 , 우리를위한 완벽한 일치 찾아야 . 인터넷에서 알 수 있듯이 Edmonds 의 아름다운 다항식 시간 Blossom 알고리즘 과 1986 년 Karp, Upfal 및 Wigderson 의 RANDOMIZED 병렬 알고리즘 에도 불구하고 그래프의 일부 하위 클래스에만 알고리즘 이있는 것으로 알려져 있습니다 .$G$$G$$\mathsf{NC}$

2005 년 1 월에는 Computational Complexity 블로그에 Perfect Matching이 에 있는지 여부에 대한 공개 게시물 이 있습니다 . 내 질문은 :$\mathsf{NC}$

그 이후로 무작위 알고리즘을 넘어서는 진보가 있습니까?$\mathsf{NC}$

내 관심을 명확히하기 위해 GENERAL 그래프를 다루는 알고리즘이 좋습니다. 그래프의 서브 클래스에 대한 알고리즘도 괜찮지 만, 그것은 내가 주목하지 않을 수도 있습니다. 모두 감사합니다!

12/27에서 편집 :

모든 도움을 주셔서 감사합니다. 모든 결과를 한 그림으로 요약하려고합니다.

알려진 최저 클래스에는 다음과 같은 문제점이 있습니다.

• 일반 그래프에서 일치 : [ KUW86 ], [ CRS93 ]$\mathsf{RNC}$$\mathsf{RNC}^2$
• 이분 평면 / 일정 속 그래프에서 일치 : / [ DKT10 ] / [ DKTV10 ]$\mathsf{UL}$$\mathsf{SPL}$
• 총수가 다항식 일 때 일치 : [ H09 ]$\mathsf{SPL}$
• 렉스 최초의 최대 매칭 : [ MS89 ]$\mathsf{CC}$

또한, 그럴듯한 복잡성 가정에서 : 는 지수 회로를 필요로합니다. 일반적인 그래프에서의 매칭은 [ ARZ98 ]에 있습니다.$\mathsf{SPACE[n]}$$\mathsf{SPL}$

일반 그래프에서 완벽한 일치를위한 N C 알고리즘은 여전히 ​​열려 있지만 약간의 진행이있었습니다. 내가 알고있는 몇 가지가 있습니다.$NC$

일반적인 그래프의 경우 Agrawal-Hoang-Thierauf 는 완벽한 매칭의 수가 적다 는 약속을 감안할 때 알고리즘이 모두 있음을 보여주었습니다.$NC^2$

평면 그래프의 클래스에서 pfaffian 은 큰 역할을합니다. Kastelyn은 pfaffian이 완벽하게 일치하는 수와 정확히 일치하는 방식으로 모든 평면 그래프의 방향을 지정할 수있는 방법을 보여주었습니다. (이것은 "수득 강렬 의해 사용 된 홀로그램 알고리즘 다양한 문제를") 마하 잔-Subramanya - 인 Vinay는 파피 안가 계산 될 수있는 방법을 보여 clow 서열의 변형을 사용. (Kastelyn은 실제로 P 에서 임베딩을 찾는 알고리즘을 제공 하지만 pfaffian 임베딩을 N C 에서 계산할 수 있는지 확실하지 않습니다 . 그렇다면 평면 그래프에서 완벽한 일치를 계산하는 것은 N C 입니다.)$NC$$P$$NC$$NC$

그리고 Vinodchandran-Tewari 의 최근 결과는 평면 그래프 (Green 's theorem을 사용하여)에 대해 평면성 도달 가능성을 에두기 위해 고립 형 렘마를 " 파괴 화"할 수 있음을 보여준다 . 그러나 평면 일치에 대한 N C 알고리즘은 여전히 ​​열려 있습니다 (Raghunath가 U L 에 있다는 주장을 수정했기 때문에 감사합니다 ). N C의 양자의 평면 matchings위한 알고리즘에 의해 주어 다타-Kulkarni - 로이$UL$$NC$$UL$$NC$

이것이 도움이되기를 바랍니다.

몇 년 후 :) 및 Perfect Matching은 이제 Quasi-NC에있는 것으로 알려져 있습니다 (즉, 준 폴리 노 미적으로 많은 프로세서가 필요함). Fenner, Gurjar 및 Thierauf (이분 그래프의 경우) https://arxiv.org/pdf/1601.06319.pdf 및 Ola Svensson과의 작업 (일반 그래프의 경우)을 참조하십시오 : https://arxiv.org/pdf/1704.01929

Tewari-Vinodchandran에 의한 격리 정리의 비 무작위 화는 불행히도 평면 매칭에 대한 UL 상한을 제공하지 않습니다. 사실 NC 알고리즘이 평면 일치로 알려져 있지 않다고 생각조차하지 않습니다. 그러나 Datta, Kulkarni 및 Nimbhorkar와의 최근 연구에서 우리는이 분면 평면 매칭에 UL 상한을 보여줍니다 (이 결과의 작성은 여전히 ​​진행 중입니다). 이것은 NL 경계조차도이 문제로 알려지지 않았기 때문에 흥미 롭습니다.

최적화 문제가 어렵다고 알려진 경우 일반적으로 최대 버전을 보는 것이 일반적입니다. 예를 들어 독립 세트는 NP-Complete 인 반면 lex 첫 번째 최대 독립 세트 인 P-Complete입니다.

$\sqrt n$

이 모든 점은이를 위해 쉽게 병렬화 가능한 NC 버전이 없을 수 있다고 말합니다. 그런데 누가 알 겠어요? 다음 주에 누군가 RNC 버전의 무작위를 취소 할 수 있습니다!

편집 : 감사합니다 Ramprasad. 그러나이 논문 에 대한 또 다른 링크가 있습니다.

$(1-\epsilon)-$$NC$$n^{\Theta(1/\epsilon)}$$O(\log^3 n)$

T. Fischer, AV Goldberg, DJ Haglin 및 S. Plotkin. 대략적인 일치 항목. 정보 Proc. Lett., 46 (3) : 115, 1993