Friedman의 (확실 할 수없는) 어퍼 시프트 고정 점 정리의 계산 결과?

Harvey Friedman은 ZFC에서 증명할 수없는 깔끔한 고정 소수점 결과가 있음을 보여주었습니다 (일반적인 Zermelo-Frankel 선택 이론에 대한 이론). 많은 현대 논리가 고정 소수점 연산자를 기반으로하므로 궁금합니다. 이론적 컴퓨터 과학에 대한 상위 이동 고정 소수점 정리에 대해 알려진 결과가 있습니까?

돌이킬 수없는 상단 시프트 고정 소수점 정리
모든 에 대해 일부 에 가 . $R \in \text{SDOI}(Q^k,Q^k)$ $A = \text{cube}(A,0) \setminus R[A]$ $\text{us}(A)$

USFP 정리는 문인 것처럼 보이 므로 이론적 컴퓨터 과학에 영향을 미치기 위해 계산 가능성 (예 : 자동 구조의 비 동질성 검사)과 "충분히 근접"할 수 있습니다. $\Pi^1_1$

완전성을 기하기 위해 2009 년 11 월 Friedman의 MIT 강의 에서 정의한 내용이 있습니다 ( "부울 관계 이론"초안 참조 ).

$Q$ 는 합리적인 숫자의 집합입니다. 는 다음 경우 순서와 같습니다 . 경우 그 상부 시프트 의 나타내고, 모든 비 - 음성에 1을 가산하여 얻어진 좌표 . 릴레이션 인 오더 불변 모든 주문에 대한 경우 불변 동등한 그것이 그 유지 . 관계 $x, y \in Q^k$ $1 \le i,j \le k$ $x_i \lt x_j \Leftrightarrow y_i \lt y_j$ $x \in Q^k$ $x$ $\text{us}(x)$ $x$ $A \subseteq Q^k$ $x,y \in Q^k$ $x \in A \Leftrightarrow y \in A$ $R \subseteq Q^k \times Q^k$ 만약 오더 불변이며 오더 불변의 서브 세트 인 되고 엄격 잡으며 모든 경우 마다 다음 . 또한, 만약 서브 세트 인 다음 이고 에 존재하는 경우 의 상단 이동 은 및 최소이고 이되도록 및 포함한다 . 허락하다 $R$ $Q^{2k}$ $x,y \in Q^k$ $R(x,y)$ $\max(x) \lt \max(y)$ $A$ $Q^k$ $R[A]$ $\{ y | \exists x \in A R(x,y)\}$ $A$ $\text{us}(A) = \{\text{us}(x) | x \in A\}$ $\text{cube}(A,0)$ $B^k$ $0 \in B$ $A$ $B^k$ $\text{SDOI}(Q^k,Q^k)$ 는 엄격하게 지배적 인 불변 관계 의 집합을 나타냅니다 $R \subseteq Q^k \times Q^k$ .

편집 : Dömötör Pálvölgyi가 주석에서 지적했듯이 과 을 합리적 순서로 주문하면 반례가되는 것 같습니다. 먼저, 도 비어 있으므로 세트 는 비워 둘 수 없으며 , 는 큐브 조건에 따라 0을 포함해야합니다. 비어 있지 않은 세트 에 부정확 한 값이 있으면 이보다 큰 합리적 값을 포함 할 수 없으므로 단일 시프트 여야하며 이는 상위 이동 조건과 모순됩니다. 반면에 에 부정한 것이 없으면 이므로 는 비어 있어야합니다. $k=1$ $R$ $A$ $R[A]$ $A$ $A$ $A$ $R[A] = Q$ $A$ ~~암묵적인 비표준 모델과 같이 숨겨진 명백하지 않은 정의 문제가 있는지에 대한 의견이 있습니까?~~

추가 편집 : 위의 주장은 대략 정확하지만 상위 교대 적용에서는 잘못되었습니다. 이 연산자는 음 이 아닌 좌표 에만 적용 되므로 를 음의 싱글 톤 세트로 설정하면 원하는대로 고정 점이 생성됩니다. 다시 말해, 이면 는 해결책이며 다른 해결책은 없습니다. $A$ $m < 0$ $A = \{m\}$

computability lo.logic

— 안드라 살 라몬
소스

누군가가 그 진술을 더 자세히 설명해 주시겠습니까? 예 : k = 1이고 R이 x <y이면 A는 무엇입니까?

— domotorp

R은 SDOI입니다. A에 유효하지 않은 경우 R [A]는 Q이고 A는 비어 있습니다. m을 A의 비유로하자. R [A]는 m보다 큰 모든 이성을 포함 할 것이다. 따라서 A는 m 이상의 모든 합리성을 배제해야하므로 정확하게 m을 포함하는 단일 집합이어야합니다. 그러나 us (A)는 m + 1 모순을 포함해야합니다. 따라서 일관된 유일한 경우는 A가 비어 있다는 것입니다.

— András Salamon

나는 같은 줄을 따라 생각하고 있었지만 약간의 속임수를 느낍니다. cube (A, 0)에 0이 포함되지 않은 이유는 무엇입니까? 어쩌면 나는 무언가의 정의를 이해하지 못할 수도 있습니다. 이 경우 빈 세트가 작동하면 모든 R에서 작동하지 않는 이유는 무엇입니까?

— domotorp

당신은 좋은 지적이 있고, 메모를 추가했고, 더 많은 파기를해야합니다.

— András Salamon

@domotorp : 미스터리 해결 : us (x)의 정의를 다시 확인하십시오.

— András Salamon

나는이 특정 정리의 결과에 대해 모른다. 그러나 유도 적 구조의 계산법과 같은 람다 계산법의 정규화 증거는 람다 용어 집합이 원하는만큼 계산 가능하더라도 큰 기본 공리에 의존합니다.

큰 추기경의 존재를 주장하는 집합 이론적 공리의 계산적 중요성을 이해하는 가장 좋은 방법은 이론을 그래프 이론을 표현하는 방법으로 생각하는 것입니다. 즉, 집합의 모델은 멤버십을 해석하는 데 사용되는 이진 관계가 장착 된 요소의 모음입니다. 그런 다음, 집합 이론의 공리는 구식에서 새 집합을 구성 할 수있는 방법을 포함하여 구성원 관계의 속성을 알려줍니다. 특히, 재단의 원칙은 회원 관계가 잘 정립되어 있음을 의미합니다 (즉, 무한한 내림차순이 없음). 이처럼 잘 정립되어 있다는 것은 프로그램의 실행 상태를 세트 요소의 전이 멤버쉽으로 정렬 할 수 있으면 종료 증거가 있음을 의미합니다.

따라서 "큰"집합이 존재한다는 주장은 일반적인 재귀 프로그래밍 언어에서 특정 클래스의 루프가 종료된다는 주장으로 계산적 보상을받습니다. 이 해석은 평범한 오래된 무한대 공리 (자연수 반복을 정당화 함)에서 큰 기본 공리까지 균일하게 작동합니다.

이러한 공리가 사실 입니까? 공리가 거짓이면 종료되지 않는 클래스 중 하나에서 프로그램을 찾을 수 있습니다. 그러나 그것이 사실이라면, 우리는 Halting 정리 덕분에 결코 확신하지 못할 것입니다. 자연수 유도의 모든 것은 과학적 유도 의 문제이며 , 실험에 의해 항상 위조 될 수 있습니다. Edward Nelson은 지수가 부분 함수임을 증명하기 위해 유명해졌습니다!

— 닐 크리슈나 스와미
소스