Cheeger는 일정한

필자는 그래프의 Cheeger 상수를 결정하는 것이 $\mathsf{NP}$ -hard 라는 수많은 기사를 읽었습니다 . 그것은 민속 정리 인 것 같지만이 진술에 대한 인용이나 증거를 찾지 못했습니다. 누구에게 크레딧을 주어야합니까? 오래된 논문 (Isoperimetric Numbers of Graphs, J. Comb. Theory B, 1989)에서 Mohar는이 주장이 "다수의 모서리를 가진 그래프"에 대해서만 증명합니다.

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— 델리오 엠
소스

답변:

정의 된 가장자리 확장 경도 (또는 Cheeger 상수)에 대한 인용이 필요한 종이를 쓸 때도이 문제가 발생했습니다 $\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$ . 분리기 ( http://dl.acm.org/citation.cfm?id=331526 ) 에 관한 Leighton 및 Rao의 고전 논문은 이것이 어려운 문제이며 Garey, Johnson 및 Stockmeyer의 논문 ( http : / /www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397576900591). 나는 언급 된 논문에 가장자리 확장에 대한 언급이 없기 때문에 그들이 언급 한 것을 잠시 동안 알아낼 수 없었습니다. 이에 대해 Avi Wigderson과 대화했습니다. 마지막으로 Garey et al 논문에 제시된 Max-Cut의 경도를 사용하여 가장자리 확장이 어렵다는 것을 비교적 쉽게 보여줄 수 있다고 판명되었습니다. 나는 지금 세부 사항을 잊어 버렸지 만 재현하기가 어렵지 않아야합니다. Blum etal의 논문은 그래프가 초 집중 기인지 여부를 확인하는 것은 가장자리 팽창의 경도를 직접적으로 암시하지 않습니다. 그들은 기술적으로 같은 문제가 아닙니다.

— 찬드라 체 쿠리
소스

가장자리 확장 경도를 사용하는 내 논문은 onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abstract 아래에 있습니다 . 우리는 가장자리 확장의 경도에 대해 Leighton-Rao 논문과 Garey, Johnson, Stockmeyer의 논문을 참조하십시오.

— 찬드라 체 쿠리

감사! 기술적으로 Cheeger 상수를 결정하는 경도는 문헌에서 입증되지 않았습니까?

— Delio M.

@DelioM. Mohammad의 답변 중 하나에서 Kaibel 참조는 완전한 증거를 가지고 있습니다. 비가 중 최대 컷에서 최소이 분면으로의 Garey-Johnson-Stockmeyer 감소 일 뿐이며, 감소에 의해 생성 된 그래프에서 가장 희박한 컷이이 분할이라는 짧은 증거가 있습니다.

— Sasho Nikolov

그러나 나는 내가 길을 잃었다 고 고백해야한다. 나는 항상 max-cut이 그래프의 "이분법"을 특성화하는 문제와 관련이 있다고 생각했습니다. 그래프가 "연결된"방법을 찾는 데 어떻게 도움이됩니까? 마찬가지로, 부호없는 라플라시안의 두 번째로 낮은 고유 값이 어떻게 라플라시안의 두 번째로 낮은 고유 값에 바인딩 될 수 있습니까? 하한 유지는 명백하지만 상한은?

— Delio M.

@DelioM. 더 많은 꼭지점 을 추가 하고 결과 그래프를 보완 하여 Max Cut을 Min Bisection으로 축소합니다 . 따라서이 축소는 하나의 그래프를 이분법에 얼마나 가깝게 다른 그래프가 다른 그래프와 연결되어 있는지에 관한 것입니다 (첫 번째 보수와 관련됨).

n

$n$

— Sasho Nikolov

Kaieg는 MAX Cut 문제를 줄임으로써 기술 보고서에서 계산 된 체거 상수 (또는 엣지 확장) 의 hardness에 대한 실제 증거를 얻었습니다 (정리 2 참조). 증명은 단순화 된 일부 NP- 완전 그래프 문제에서 Garey, Johnson 및 Stockmeyer 가 제공 한 equicut 문제 의 hardness 증명의 확장입니다 . $NP$ $NP$

V. Kaibel : 0 / 1- 폴리 토프의 그래프 확장. 기술 보고서 arXiv : math.CO/0112146, 2001

편집 : 아래의 주장은 Chekuri가 지적한대로 잘못되어 교육 목적으로 남았습니다.

이것은 요청한 참고 자료가 아니지만 경도 결과의 민속적 상태를 설명합니다.

다음은 연결된 입방 그래프가 가장자리 확장기인지 여부를 결정하고 Cheeger 상수 가 CoNP-hard 인지를 결정하는 CoNP- 완전성의 증거 아이디어입니다 . $h(G)$

최소 이분 문제는 - 완전한 $NP$ 접속 용 삼차 그래프. 여기서 우리 는 정수 가진 그래프 가 두 개의 동일한 크기의 부분으로 분할되어 절단 모서리의 수가 보다 작게 분할 될 수 있는지 여부를 결정하려고합니다 . $G$ $k$ $k$

이 문제의 보완은 그래프 가 확장 되는지 여부를 결정하는 것과 같습니다 ( 모든 균형 된 파티션은 이상 컷 에지를 ). $G$ $V$ $k$

이 세미나에서 PS Arora는 -expander 그래프 (가장자리 확장) 를 인식 하기가 -hard 라고 말합니다 . http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx $CoNP$ $\alpha$

— 모하마드 알-투르 키스 타니
소스

최소 이등분의 크기는 그 자체로 가장자리 확장에 대해 아무 것도 말하지 않기 때문에이 증명도 작동하지 않습니다. 예를 들어 꼭짓점 의 연결이 끊어진 그래프 는 최소 이분법 가질 수 있습니다 .

2 n

$2n$

(n - 2)^{2}

$(n-2)^2$

— Sasho Nikolov

그래프 는 3 차 그래프로 연결되며이 클래스의 최소 이분법 문제는 NP- 완료입니다.

G

$G$

— Mohammad Al-Turkistany

@SashoNikolov 분리 된 그래프의 확장에 관심이있는 사람은 본 적이 없습니다.

— Mohammad Al-Turkistany

오로라가 아닌 아 로라. 나는 를 결정하는 것이 coNP 어렵다는 것을 의심하지 않습니다 . 그러나 두 가지 답변에서 증거에 대한 언급이나 증거를 제공하지 않았습니다. 연결이 끊어진 그래프는 논증이 허위임을 보여주기위한 것입니다. "수정"도 작동하지 않습니다. 큰 최소 이분법과 Cheeger 상수가 임의로 0에 가까운 연결된 입방 그래프를 쉽게 보여줄 수 있습니다. 두 가지 문제가 있지만 관련이 없는 당신이 제안하는 사소한 방법이다.

h (G) \geq α

$h(G) \geq \alpha$

— Sasho Nikolov

@ MohammadAl-Turkistany : 두 개의 연결된 브리지리스 입방 형 그래프 (확장기, 하나는 2n 버텍스, 다른 하나는 n 버텍스)를 가져 와서 세 개의 가장자리를 세분화하여 각면에 3 개의 새로운 꼭지점을 추가하여 3 개의 가장자리로 연결합니다. 이제 더 큰 확장기의 좋은 덩어리를 잘라 내야하므로 min-bisection은 ( ) 커질 것입니다. 그러나 두 개의 확장기를 3 개의 모서리 만 잘라서 분할 할 수 있기 때문에 확장이 작습니다.

Ω (n)

$\Omega(n)$

— 찬드라 체 쿠리