평면 그래프에서 삼각형 계산의 시간 복잡성

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일반적인 그래프에서 삼각형을 세는 것은 시간에 사소하게 수행 될 수 있으며 훨씬 더 빨리하는 것이 어렵다고 생각합니다 (참조 환영). 평면 그래프는 어떻습니까? 그것은에서 할 수있는 다음의 간단한 절차 쇼 시간. 내 질문은 두 가지입니다. $O(n^3)$ $O(n\log{n})$

이 절차에 대한 참조는 무엇입니까?
시간을 선형으로 만들 수 있습니까?

Lipton-Tarjan의 평면 분리기 정리의 알고리즘 적 증거로부터 그래프의 크기에서 시간 선형으로 그래프의 정점을 세 개의 세트 로 분할 하여 하나의 끝 점이있는 모서리가 없도록 할 수 있습니다 와 의 다른 하나 , 크기는 $A,B,S$ $A$ $B$ $S$ 및모두 상한 크기 $O(\sqrt{n})$ $A,B$ 꼭짓점 수의 입니다. 그래프의 삼각형은 모두내부또는내부있거나의 다른 두 꼭짓점또는의 다른 두 꼭짓점과 함께하나 이상의 꼭짓점을사용합니다. 따라서,이 그래프에 삼각형의 개수 카운트 충분그리고 이웃에(및 유사 대). 공지 것을및-neighbours는 유도외측 -σ 평면 그래프 (그래프 (가) 직경의 평면 그래프 인 서브 그래프 $\frac{2}{3}$ $A$ $B$ $S$ $A \cup S$ $B \cup S$ $S$ $S$ $A$ $B$ $S$ $A$ $k$ $4$ ). 따라서 이러한 그래프에서 삼각형의 수를 세는 것은 동적 프로그래밍 또는 Courcelle의 정리 응용 프로그램을 통해 직접 수행 할 수 있습니다 (Elberfeld 등의 Logspace 세계에 그러한 계산 버전이 존재하고 있음을 알고 있습니다. 방향이없는 삼각형을 형성하는 것은 속성이고, 포함 된 외부 평면 그래프 로부터 제한된 폭 트리 분해가 얻어 지기 때문에 선형 시간 세계에서) . $\mathsf{MSO}_1$ $k$

따라서 우리는 선형 시간 절차를 희생하여 각각 일정한 비율로 작은 문제 쌍으로 문제를 줄였습니다.

$O(n\log{n})$

reference-request graph-algorithms planar-graphs

— 사미
소스

6

A

$A$

t r (A^{3}) / 6

$tr(A^3)/6$

n^{ω}

$n^{\omega}$

ω < 2.373

$\omega < 2.373$

@RyanWilliams 당신은 물론 정확합니다! 질문을 업데이트하겠습니다.

— SamiD

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평면 그래프 (G)에서 임의의 고정 서브 그래프 (H)의 발생 횟수는 H가 단절 되더라도 O (n) 시간으로 카운트 될 수있다. 이 결과와 몇 가지 관련 결과 는 1999 년 David Eppstein의 Planar Graphs and Related Problems 하위 그래프 동종 형성 논문에 설명되어 있습니다 . 정리 1 참조.이 논문은 실제로 나무 폭 기술을 사용합니다.

— 바트 얀센
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Bart Jansen의 답변이 일반적으로 하위 그래프 계산의 경우를 해결하지만 평면 그래프 (또는 일반적으로 경계 수차의 모든 그래프)에서 모든 삼각형을 계산 (또는 나열)하는 문제는 훨씬 오랫동안 선형 시간으로 알려져 있습니다. 보다

C. Papadimitriou와 M. Yannakakis, 평면 그래프의 문제, 정보. Proc. Letters 13 (1981), 131–133 쪽.

과

N. Chiba 및 T.Nishizeki, Arboricity 및 하위 그래프 목록 알고리즘, SIAM J. Comput. 14 (1985), 210-223 쪽.

— 데이비드 엡스타인
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