Kolmogorov의 복잡성을 출력 할 수 없습니까?

우리 튜링 기계 및 범용 튜링 기계의 프리픽스 프리 인코딩 수 수정 입력 해당 (의 프리픽스 프리 코드로 인코딩 뒤에 대로 출력) 입력에 대한 출력 가능 ( 둘 다 영원히 실행). 의 콜 모고 로프 복잡도 정의 , , 최단 프로그램의 길이 이되도록 . $U$ $(T,x)$ $T$ $x$ $T$ $x$ $x$ $K(x)$ $p$ $U(p)=x$

모든 입력 대해 정수 출력하도록 튜링 머신 가 있습니까? 이는 의 Kolmogorov 복잡도와는 다르다 . 즉, 이지만 ? $T$ $x$ $T(x)\le |x|$ $x$ $T(x)\ne K(x)$ $\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$

조건이 필요하기 때문에

(a) 만약 $T(x)\not \le |x|$ 그러면 보다 크므로 와 사소한 숫자를 쉽게 출력 할 수 있습니다 . $K(x)$ $|x|+c_U$

(b) 만약 $\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)<C$ 가 허용된다면, 거의 모든 숫자에 대해 $0$ (또는 다른 상수)을 출력 할 수 있습니다. (정확히 많은 숫자) 평가되고 $0$ 다른 상수로 출력됩니다. 대해 과 같은 것을 출력하여 도 보장 할 수 있습니다 . $\limsup_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$ $2\log n$ $x=2^n$

또한 우리가 $T(x)$ 가 의심 스럽지 않다는 것을 알면 우리의 일이 쉬울 것입니다 . 그러나 이것에 대해 거의 알지 못 하므로 대답은 달려 $U$ 있을 것입니다.

관계는 일반적으로 많이 연구된다는 것을 알고 있지만

우리의 목표가 매개 변수를 출력 하지 않는 알고리즘을 제공하는 것과 비슷한 질문을 한 사람이 있습니까?

내 동기는이 문제 http://arxiv.org/abs/1302.1109 입니다.

— 도모토
소스

링크하는 노출에 관한 주제에서 언급했듯이 짝수 길이의 프로그램 만 유효 할 수 있습니다 . 따라서 질문을 사소한 것으로 만들려면 인코딩에 대한 더 많은 가설이 필요합니다.

K $K$

p $p$

— Denis

두 번째 질문 : 예. 정수 감안할 때 ,하자 나타낸다 번째 튜링 기계. 대각선 비 재귀 (또는 DNR) 함수는 함수 되도록 모든 정수에 대한

M $M$

[M] $[M]$

M $M$

f:N→N $f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

M $M$ , . (즉, 이 에서 정지하면 이고, 그렇지 않으면 은 임의적 일 수 있습니다.) 최근에 계산 / 계산에서 꽤 많이 연구되었습니다 무작위 커뮤니티. 이에 대한 논문을 찾기 위해 구글 "대각선 비 재귀".

[M](M)≠f(M) $[M](M) \neq f(M)$

[M] $[M]$

M $M$

에프( M) ≠ [ M] ( M) $f(M) \neq [M](M)$

에프( M) $f(M)$

— 조슈아 그로 호프

@Denis : 당신이 틀렸다고 생각합니다. 첫 번째 단락에 제공된 범용 Turing-machines에 대한 나의 정의에 따르면 모든 길이는 유효한 프로그램이 될 수 있습니다.

— domotorp

몇 번 전에 나는 분명히 더 간단한 버전에 대해 (헛된) 생각했다. 충분히 큰 , 모든 대해 그것을 증명했다 .

엑스0 $x_0$

케이( x ) ≠ | x | / 2 $K(x) \neq |x|/2$

x ≥ x0 $x \geq x_0$

— Marzio De Biasi

@Ricky : 괜찮습니다. Turing 머신의 인코딩에는 제한이 없으며 첫 번째 단락에서 읽을 수있는 프로그램에만 제한이 있습니다.

— domotorp

답변:

이 질문은 와 Denis가 주석에서 지적한대로 표현할 수 있습니다. 일부 인코딩의 경우에는 false입니다. 다음은 인코딩에 대한 세부 사항에 의존하지 않는 약한 진술과 그에 대한 증명 된 증거입니다. 그러나 단순성을 위해 이진 언어를 가정합니다. $\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} = 0$

하자 $T:\{0,1\}^* \rightarrow \mathbb{N}$ 만족가 수 계산 가능 함수 와 . 그런 다음 . 비공식적으로, 각 문자열의 Kolmogorov 복잡성 주위에 무한대로 넓게 타깃이 있으면 계산할 수있는 함수가 적중을 피할 수 없습니다. $0 \le T(x) \le \vert x \vert$ $\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{T(x)} = \infty$ $\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} \lt \infty$

이를 확인하려면 임의의 비트 숫자, 즉 및 합니다. 모든 대해 임의의 이 존재합니다. 또한 값 무한한 수 있다는 것을 유의 되는 ,이 위에 배치 된 상태에서 다음 . 이제 를 와 같이 가장 작은 문자열로 설정하십시오 . 분명히 상수 $n$ $b$ $0 \le n \lt 2^b$ $K(n) \ge b$ $b$ $n$ $b$ $\vert \{T(x) = b\} \vert \ge 2^b$ $T$ $x$ $n^{\text{th}}$ $T(x) = b$ $c_1$ 및 때문에 과 같은 $K(x) \gt b - c_1$ $K(n) \ge b$ $n$ 에서 계산할 수 있습니다 . 그리고 와 같은 상수 이며 대한 무한한 선택 항목이 있으며 (카디널리티의 사전 이미지가 이상인 경우) 무한한 수의 값을 생성합니다. 대한 , 그래서 우리는 수행됩니다. $x$ $c_2$ $K(x) \lt b + c_2$ 때문에, 또한 이상 만 상수 위에서 묶여 및 로 계산 될 수 . 그런 다음 $K(n)$ $b$ $x$ $n$ $\vert K(x) - T(x) \vert \lt c_1 + c_2$ $b$ $2^b$ $x$

어떤 경우 무한정 자주 발생합니다. 따라서 Kolmogorov 복잡성이 아닌 것을 출력 할 수 없다고 말할 수 있습니다! $c \in \mathbb{Z}$ $T(x) = K(x) + c$

— 댄 브루 믈 레브
소스

좋아, 나는 이것이 작동해야한다고 생각한다. 물론 인 문자열이 없을 수도 있으므로 가 필요할 수도 있습니다 .

f(x)=b $f(x)=b$

f(x)≥b $f(x)\ge b$

— domotorp

이 에서 계산 가능 하도록 이어야 합니다. 그래서, 하나 개 필요 추측 선택 그래서 또는 문자열은 매핑 있도록. 아마도 가정은 그러한 가 무한히 많이 있음을 암시해야합니다 (현재는 잘 보이지는 않지만). (내가 알 수있는 한, 가정은 다른 방식으로 사용되지 않았습니다.)

f(x)=b $f(x)=b$

n $n$

xb,n $x_{b,n}$

b $b$

≥2b+1 $\ge2^{b+1}$

b $b$

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다 : Monica

예, 실제로 필요합니다. 그러나 증거는 모순으로 쉽게 알 수 있습니다. 인 경우 항상 이면 범위를 적어도 문자열이 매핑 된다는 결론을 내릴 수 있습니다 따라서 무한히 많아서 와 모순 됩니다.

<2b $<2^b$

b>b0 $b>b_0$

b0<b≤B $b_0<b\le B$

B−b0 $B-b_0$

≤b0 $\le b_0$

lim inf=∞ $\liminf=\infty$

— domotorp

Denis가 말한 내용은 질문의 첫 번째 줄에서 보편성을 정의한 방식에는 적용되지 않습니다. 그의 발언 또한 사소한 데, 왜 그렇게 많은 사람들이 그의 발언을 옹호했는지 전혀 알 수 없습니다. 그러나 아아, 베드로의 잘못된 답변도 많은

— 찬사를

범용 TM에 대한 나의 기준이 충족되는 한, TM의 인코딩 방식은 중요하지 않으므로 Denis의 의견은 틀립니다. 다른 모델에 대한 언급으로 언급되면 다른 것입니다. 어쨌든, 이것을 극복하는 대신, 우리가 당신의 아이디어를 강화할 수 있는지 살펴 보도록하겠습니다.

— domotorp

다음과 같은 효과가 있다고 생각합니다. 내가 사용할 게 $C(x)$ 콜 모고 로프의 복잡성

보내기 동시에 결합 결과 (예를 들어, 입력 된 프로그램의 길이에 어떤 지수 함수)를 호출하고 $U$ $t$ $U^t$ . 프로그램이 시간 제한을 초과하면 는 무한 루프에 들어갑니다. $U^t$
를 에서 대한 최단 프로그램 이라고하자 $C^t(x)$ $x$ $t$ . 참고 계산할 수있다. $C^t$
하자 복귀 ,이 값이 동일하지 않는 행 $T(x)$ $C^t(x) + 1$ $|x|$ 가 빈 프로그램의 출력이 아니면 1을 반환합니다. $x$
이후 , 항상 다른 것 $C(x) \leq C^t(x)$ $T(x)$ $C(x)$ . 이전 단계의 논리는 에지 사례를 처리합니다.
$U^t$ 는 모든 문자열의 코드로 작동하므로 무한대가 제한적입니다.

— 베드로
소스

몇 가지 의견, 대안 (그러나 동등한) 해석의 KC 이론은 다음과 같이 말합니다 : 거의 모든 문자열은 최적의 표현 (최소)으로 변환 될 수있는 많은 문자열을 제외하고 는 이미 최적의 표현 ( 주어진 모델에 대한 wrt )입니다 주어진 계산 모델 (또는 TM)에 wrt . 이런 의미에서 거의 모든 프로그램은 최적의 문자열 표현을 출력하지만 사전에 알려진 (또는 계산 가능한) 것은 아닙니다

— Nikos M.

왜?

T(x)≤|x| $T(x)\le |x|$

— domotorp

@domotorp 기술적으로 우리는 여기서 는 가장 짧은 인쇄 프로그램의 길이입니다. 물론,이 상수는 (실제로 인쇄 프로그램이 느리게 진행되지 않는 한 같은 상수입니다).

$T(x) \leq |x| + c$

$c$

$C(x)$

— Peter

그러나 이것이 전체 질문을 흥미롭게 만드는 것입니다! 대신 어떤 기능을 요구할 수 있습니다 예를 들어 와 같은 유일한 목표는 귀하와 유사한 솔루션을 제거하는 것이 었습니다.

$|x|$

$|x|/2+99$

— domotorp

@domotrop 내가 알기 때문에 가 의 상한이되지 않도록하고 싶습니다 . 더 흥미 롭습니다.

$T(x)$

$C(x)$

— Peter