알고리즘 수학적 분석이 있습니까?

있다 알고리즘 그래프 이론 / 숫자 이론 / 조합론 / 정보 이론 / 게임 이론.

알고리즘 수학적 분석이 있습니까?

위키에 따르면 수학적 분석 에는 미분, 통합, 측정, 한계, 무한 시리즈 및 분석 함수 이론이 포함됩니다. 실수 변수의 실수와 실수 함수를 다루는 실수 분석 (wiki) 에 초점을 두는 것이 좋습니다.

"알고리즘"은 계산 이론 및 복잡성 이론의 관점에서 무언가를 연구하는 것을 의미합니다.

"알고리즘 수학적 분석"의 인터넷 검색은 "알고리즘의 수학적 분석"또는 "알고리즘에 대한 분석 응용"으로 이어집니다.

분석 네트워크 의 계산 및 복잡성을 확인하십시오 . 인용문:

관심있는 주제에는 실제 수치에 대한 계산 성 및 복잡성을 설명하기위한 다양한 모델 및 접근 방식에 대한 기초 작업이 포함됩니다. 여기에는 기초적인 문제와 구체적인 문제에 대한 복잡성 이론 조사, 정확한 실제 산술의 새로운 구현 및 기존 소프트웨어 패키지의 추가 개발이 포함됩니다.

(면책 조항 : 나는 전문가가 아니며, 정정을 제안하거나 자유롭게 대답 할 수 있습니다.)

계산 가능성과 복잡성을 실수 (분석을 수행하는 첫 번째 단계)로 확장하는 것은 까다 롭고 여러 가지 방법으로 수행되었습니다. 하나는 Blum-Shub-Smale (BSS) 모델입니다.이 모델은 Turing 기계에 실수로 대수 연산을 저장하고 수행하는 기능을 강화합니다. 결과 이론은 대수적 풍미가 있으며, 예를 들어 모든 계산 가능한 함수는 부분적으로 반 대수입니다. 이 모델은 흥미롭지 만 적어도 컴퓨터가 실제로 실수 계산을 처리하는 방법의 모델로서 비현실적으로 보이게하는 이상한 기능을 가지고 있습니다. 예를 들어 계산할 수 없는 상수 로 계산할 수 있습니다. Chaitin 상수 값을 가진 상수 함수 는 BSS 모델에서 계산할 수 있습니다. 반면에, $e^x$ BSS 모델에서는 계산할 수 없습니다.

또 다른 접근법은 계산 가능한 분석 분야에서 찾을 수 있으며 , 그것이 당신이 찾고있는 것이라고 생각합니다. Weihrauch 의 저서 에서 소개를 확인하십시오 (소개 및 계산 가능한 실수에 대한 장은 링크 된 페이지에서 제공되며 진행 상황에 대한 좋은 아이디어를 제공합니다). 여기에는 상당히 동등한 몇 가지 모델이 있지만 대략적인 아이디어는 합리적인 숫자가 유한 한 표현을하고 이론을 완성하는 것과 같이 실수를 구성하는 것과 같은 방식으로 계산 가능한 실수를 구성한다는 것입니다. 따라서 실수를 합리적 코시 시퀀스의 (등가 클래스)로 정의하는 것과 유사하게 계산 가능한 실수는 임의로 좋은 근사치를 계산하는 튜링 기계에 의해 제공됩니다. 그런 다음 함수 은 튜링 머신이임의의 양호한 근사값을 x로 계산하는 머신 (Oracle로 ) 주어진임의의 f ( x )의 근사값을 임의로 계산할 수있는 경우 계산 가능합니다.$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$f(x)$$x$

계산 가능 분석과 클래식 / 현대 분석 및 기타 여러 분야 (예 : 알고리즘 임의성) 사이에는 흥미로운 연결이 있습니다. 정리의 간단한 예는 모든 계산 가능한 함수가 연속적이라는 것입니다. (실제로 세부 사항에 가지 않고) 더 복잡한 예제를 제공하기 위해, 예를 들어 Rademacher는 정리의 아날로그 분석의 고전 정리, 흥미 대응이되어있는 모든 계산 가능한식이 립 시즈 기능 (알고리즘 임의성에 대한 올바른 개념을 위해) 모든 알고리즘 적으로 임의의 점에서 구별 할 수 있습니다.$f:[0,1] \to [0,1]$

실제 함수에 대한 복잡성 이론을 공식화하는 것은 AFAIK이며 훨씬 까다 롭습니다. 이것은 실제 함수를 계산하는 것이 고차 계산이라는 사실과 관련이 있습니다 (Touring 머신을 입력으로 사용하기 때문에) 입력의 비트 크기는 일반적으로 런타임을 측정하기에 올바른 것이 아닙니다. 효율적인 실제 계산을 정의하는 한 가지 접근 방식에 대해서는 Mark Braverman 의이 백서를 확인하십시오 . 이 시점에서 나는 더 깊이 말하기 위해 깊이 빠져 나갔습니다.

실제 함수 계산의 복잡성에 대한 고전적인 참조는 다음과 같습니다.

• ker-I Ko, 1991 년 실제 함수의 복잡성

또한 Weirauch의 책 7 장을보십시오.

이 질문이 게시 된 지 2 년이 지난 후에도 위법 행위없이 답변과 의견에 실망했습니다.

전 세계 CS 부서가 주제를 잘못 분류하고 여러 세대의 과학자와 엔지니어를 오도 할 때 이런 일이 발생합니다.

• 모든 CS 부서 의 알고리즘 클래스는 개별 알고리즘 으로 레이블을 지정해야합니다 .

• 또는 해당 클래스의 현재 컨텐츠를 50 % 이하 ( 데이터 구조를 포함하는 50 % 이하)로 줄여야하며 나머지 절반에는 Numerical Analysis and Scientific Computing 의 여러 주제가 포함되어야 합니다.

수학적 분석 의 핵심은 무엇 입니까? 실제 분석 및 실제 라인. 그리고 컴퓨터에서 실수는 어떻게 표현됩니까? 부동 소수점 또는 임의의 정밀도 등. 따라서 다음에 부동 소수점 및 / 또는 임의의 정밀도를 핵심 구성 요소로 다루는 알고리즘에 대해 작업 할 때 (여러 개의 부동 소수점 숫자를 정렬 할 때와 같이 내용이 아닌) AMA ( Algorithmic Mathematical Analysis)를 수행하고 있음을 알고 있습니다 .

그리고 NA / 전산 과학 주제의 거대한 우주로 시작하지 마십시오. 그것은 아마도 TCS 전체를 왜소하게 만듭니다. 컴퓨터에서 여러 비선형 PDE 시스템을 해결하는 경우 수학적 분석의 기본 사항을 활용할뿐만 아니라 개방형 연구 문제 등을 포함하여 최첨단 기능 분석을 수행해야합니다. 그보다 더 많은 AMA를 얻으십시오.