트리 폭 는 마이너 의 존재를 의미 합니까 ?

하자 고정 및하자 A (접속) 할 그래프. 내가 실수하지 않으면 Bodlaender [1, Theorem 3.11]의 연구에 따르면 의 나무 폭 이 대략 이상 이면 에는 별 가 미성년자로 포함됩니다.$k$$G$$G$$2k^3$$G$$K_{1,k}$

이라는 용어를 더 작게 만들 수 있습니까 ? 즉, 적어도 treewidth는 이미 -minor 의 존재를 의미 합니까? 어딘가에 증거가 있습니까?$2k^3$$k$$K_{1,k}$

[1] Bodlaender, HL (1993). 심도 우선 검색을 통한 선형 시간 마이너 테스트. 알고리즘 저널, 14 (1), 1-23.

마이너가 없는 모든 그래프 트리 폭이 최대 입니다. 우리는 이것을 아래 몇 가지 정의에서 먼저 증명합니다.K 1 , k k - $G$$K_{1,k}$$k-1$

하자 의 treewidth 될 와 있는 파벌의 최대 크기 . 그래프 의 삼각 인 경우 의 서브 그래프이다 와 (즉, 더 이상에 사이클을 유도했다 화음이다 정점). 삼각 의 어떠한 적절한 서브 그래프 경우 최소 인 삼각 도의 삼각 없다 . 의 꼭짓점의 부분 집합 는 잠재적 최대 클릭입니다$tw(G)$$G$$\omega(G)$$G$$H$$G$$G$$H$$H$$4$$H$$G$$H$$G$$X$$G$최소 삼각가 존재하는 경우 의 와 같은 그런 의 최대이다 도당 . 것은 잘 알려져있다 여기서, 최소 전체 최소 삼각 측량을 통해 촬영 의 .$H$$G$$X$$H$

위의 공식은 임을 증명하기 위해서는 모든 잠재적 인 최대 크릭의 크기가 최대 임을 증명하는 것으로 충분합니다 . 우리는 이것을 증명합니다. 하자 의 잠재적 인 최대 파벌이 될 , 및 그 가정 .$tw(G) \leq k-1$$G$$k$$X$$G$$|X| \geq k+1$

우리는 잠재적 인 최대의 파벌의 다음과 같은 특성을 사용합니다 : 정점의 집합 의 잠재적 인 최대 파벌 인 모든 쌍에 대한 경우에 한해 , 에 인접하지 않은 (별개의) 정점의 경로가 모든 내부 정점이 외부에 있는 에서 까지 에서 로 . 이 특성화는 Treewidth and Minimum Fill-in : Bouchitte와 Todinca 의 최소 ​​구분 기호 그룹화에서 찾을 수 있습니다 .$X$$G$$u$$v$$X$$P_{u,v}$$u$$v$$G$$X$

이 특성화를 통해 에서 쉽게 도출 할 수 있습니다. 하자 . 모든 정점 에 대해 는 의 모서리 이거나 외부의 모든 내부 정점이있는 에서 까지 의 경로 있습니다 . 모든 에 비 인접한 의 모든 내부 정점 수축 으로 . 우리는 마이너로 끝날 하는 모든 인접 , 및$K_{1,k}$$X$$u \in X$$v \in X \setminus \{u\}$$uv$$G$$P_{u,v}$$u$$v$$X$$v \in X$$u$$P_{u,v}$$u$$G$$u$$X$$|X| \geq k+1$ . 따라서이 마이너에서 의 정도는 이상 증명이 완료됩니다.$u$$k$