USTCONN에 로그 공간이 필요하다는 것을 증명하는 방법?

USTCONN은 그래프 G 의 소스 정점 $s$ 에서 대상 정점 까지의 경로가 있는지 여부를 결정해야하는 문제이며 , 여기서 모두 입력의 일부로 제공됩니다.$t$$G$

Omer Reingold는 USTCONN이 L에 있음을 보여 주었다 (doi : 10.1145 / 1391289.1391291 ). 이 증거는 지그재그 제품을 사용 하여 일정한 정도의 확장기 를 구성합니다 . 일정한 정도의 확장기는 대수 직경을 가지며 일정한 수의 로그 크기 마커를 사용하여 가능한 모든 경로를 확인할 수 있습니다.

논문에 따르면 Reingold의 결과는 USTCONN의 공간 복잡성에 대한 로그 상한을 제공하여 공간 복잡성을 "상수 요인까지"해결합니다. 논문의 다른 곳에서는 언급되지 않은 해당 하한에 대해 궁금합니다.

최악의 경우 USTCONN을 결정하기 위해 로그 공간이 필요하다는 것을 어떻게 증명할 수 있습니까?

편집 : 입력 표현을 기본 N- vertex 대칭 단순 지시 그래프 의 $N \times N$ 인접 행렬로 수정하고 행이 N 2 비트 문자열 을 형성하도록 연속적으로 나열되도록 수정하십시오 .$N$$N^2$

Lewis와 Papadimitriou는 USTCONN이 SL- 완료임을 Reingold의 결과와 함께 SL = L임을 암시했다 (doi : 10.1016 / 0304-3975 (82) 90058-5 ). : Savitch는 DOI (보였다 10.1016 / S0022-0000 (70) 80,006 X- 해당) . 또한 인 DSpace ( F ( N ) ) = 인 DSpace ( 1 ) 임의의 계산 가능한 기능에 대한 F ( N ) = O ( 로그 로그 N $\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)$$\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)$$f(n) = o(\log\log n)$Stearns, Hartmanis 및 Lewis (doi : 10.1109 / FOCS.1965.11 )에 의해 USTCONN 에는 최소한 $\Omega(\log\log n)$ 공간이 필요합니다. 마지막으로 L (예 : $\text{NC}^1$ ) 미만으로 알려진 일반적인 클래스 는 회로의 관점에서 정의되며 공간 제한의 관점에서 정의 된 클래스와 분명히 비교할 수 없습니다.

만 사용하는 더 나은 결정 알고리즘이 있다는 것을 최대한 멀리 볼 수있는,이 잎은 (틀림없이 가능성) 가능성을 열어 하지만 Ω ( 로그 로그 N ) 일부 공간을 δ < 1 , USTCONN 또는 심지어 비 결정적 알고리즘이 사용 O ( ( 로그 N ) 1 / 2 ) 의 공간.$O((\log n)^\delta)$$\Omega(\log \log n)$$\delta < 1$$o((\log n)^{1/2})$

$\text{DSPACE}(o(f(n)) \subsetneq \text{DSPACE}(f(n))$인 DSpace ( O ( 로그 N ) $f(n)$$\text{DSPACE}(o(\log n))$

L에 로그 공간을 필요로하는 언어가있는 한, 로그 공간 축소보다 USTCONN이 L에 대해 "약한"약한 조건 하에서 완료됨을 표시하면 원하는 하한값을 얻을 수 있습니다.

공간 이 필요한 축소에서 L에 대해 USTCONN이 완전 합니까?$o(\log n)$

Immerman은 원하는 경로 (그래프 자체는 아님)가 결정적인 지시 된 도달 가능성의 버전이 AC 회로에 의해 계산 가능한 1 차 감소 하에서 L에 대해 완전 함을 보여 주었다 (doi : 10.1137 / 0216051 ) . 그런 다음 USTCONN이 FO 감소에서 L에 대해 완료되었음을 보여 주도록 조정될 수 있습니다. AC 그러나, 비록 엄격 L에 포함되어, AC 다시 회로 클래스 내가 sublogarithmic 공간에서 FO-감소를 수행 할 수있는 방법을 알고 아닙니다.0 $^0$$^0$$^0$

2015-07-14 편집 : TM의 공간 사용에 색인 크기가 입력에 포함되어야하는지 (따라서 입력에 무작위로 액세스 할 수 있지만 입력이 두 배가되는 경우 추가 비트가 필요한지) 흥미로운 철학적 문제입니다 ) 또는 TM에서 사용하는 공간이 계산 중에 방문한 작업 테이프 제곱의 수인지 여부입니다 (입력 테이프 헤드가 고정되어 있고 입력 테이프의 크기가 두 배가 될 때 변경되지 않는 것으로 가정). 이전 RAM 스타일 정의는 즉시 모든 로그 스페이스에 대한 하한을 제공 합니다.계산 및 파일의 시작 위치로부터 오프셋으로 파일의 현재 위치를 추적하는 현재 컴퓨터를 모델링합니다. 후자의 고전적 정의는 현재 입력 기호 이외의 테이프에 대해 아무것도 모르는 고정 된 판독 헤드를 가진 종이와 같은 테이프를 가정하며, 이는 아마도 1937 년 논문에서 튜링이 의도 한 것일 수 있습니다.

공간 이 비트 인 입력을 인덱싱 할 수 없다는 Thomas의 의견과 같은 휴리스틱 논쟁 은 최신 RAM 스타일 정의를 가정합니다. Stearns / Hartmanis / Lewis는 공간 스타일 계산에서 가장 고전적인 작업과 마찬가지로 TM 스타일 정의를 사용합니다.$o(\log n)$

완벽한 제곱의 단항 언어가 인식하기 위해 로그 공간이 필요하다는 점을 주목함으로써 인접 행렬로 표현 된 USTCONN에 대한 로그 공간 하한을 증명할 수 있습니다 (Rūsiņš Freivalds, 계산 모델, 리만 가설 및 고전 수학 , SOFSEM 1998, LNCS 1521, 89 참조) –106. doi : 10.1007 / 3-540-49477-4_6 ( 사전 인쇄)). 그런 다음 인접 행렬 표현으로 USTCONN에 동일한 하한이 적용됩니다. 이것은 아마도 너무 많은 속임수입니다. 약속 문제에 약속을 적용하는 것은 실제 문제에 비해 쉽지만 여기서 입력이 그래프라는 약속을 강제하면 이미 하한을 얻습니다. 따라서 입력이 언어로 보장되는 약속 문제에 대한 로그 공간 하한에 대한 인수를 보는 것이 좋을 것입니다 입니다.$\{\{0,1\}^{N \times N} \mid N=1,2,\dots\}$

용지 카운팅는 수량 후임 관계 및 대수 공간 Kousha이고 Etessami 의해이 증명하는 문제 본질적으로 검사된다 (만약 정점 선행 정점 outdegree 한 그래프 경로로 약속, )는 무량 화가없는 예측에서는 어렵습니다. s t G $\mathbf{ORD}$$s$$t$$G$$\mathsf{L}$

문제 문제를 줄이기 위해 볼 수있다 에 의해, -reductions : 인스턴스을 감안할 때 의 바로 삭제 아웃 에지 출력 다른 모서리를 방향성 에지로 질문 여부 인 얻어진 그래프에 접속된다. (참고 : 축소는 더 세밀해질 수 있습니다.)U S T C O N N F $\mathbf{ORD}$$\mathbf{USTCONN}$$\mathsf{FO}$O R D t U → V { U , V } U S T C O N N S , $\langle G,s,t\rangle$$\mathbf{ORD}$$t$$u \rightarrow v$$\{u,v\}$$\mathbf{USTCONN}$$s,t$