DAG에서 모든 긴 경로를 파괴하는 것이 얼마나 비쌀까요?

우리는 하나 개의 소스 노드있는 DAG (방향성 비순환 그래프) 고려 $s$ 및 하나 개의 타겟 노드 $t$ ; 동일한 정점 쌍을 연결하는 평행 모서리가 허용됩니다. $k$ - 컷 에지 제거 가지는 모든 파괴 $s$ - $t$ 이상 경로 $k$ ; 더 짧은 $s$ - $t$ 경로와 긴 "내부"경로 ( $s$ 와 t 사이가 아닌 $t$)는 살아남을 수 있습니다!

질문 : 그것은 충분히에 대한 대부분에서 제거하는 것입니다 $1/k$ 순서로 DAG에서 가장자리의 일부 것은 모두 파괴 $s$ - $t$ 보다 긴 경로를 $k$ ?

경우 즉, $e(G)$ 에서 에지들의 총 수를 나타내고, $G$ , 모든 DAG 후 수행 $G$ 가지고 $k$ 절단의 약 기껏와 $e(G)/k$ 가장자리? 두 가지 예 :

1. 경우 모든 $s$ - $t$ 경로 길이가 $> k$ ,이어서 $k$ 절단의 함께 $\leq e(G)/k$ 가장자리가 존재한다. 다음이 있어야하기 때문 보유 $k$ 이산 $k$ -cuts : 단의 계층 노드 $G$ 소스 노드로부터의 거리에 따라 $s$ .
2. 경우 $G=T_n$ A는 전이 대회 (완전 DAG)을하고 또한 $k$ 절단의 함께 $\leq k\binom{n/k}{2} \approx e(G)/k$모서리가 존재 함 :노드의위상 순서를수정하고 , 노드를길이n/k의$k$연속 간격으로 나누고 동일한 간격의 노드를 연결하는 모든 모서리를 제거합니다. 이것은k보다 긴모든s-t경로를파괴합니다. $n/k$$s$$t$$k$

비고 1 : 긍정적 인 대답을하려는 순진한 시도 (나도 처음으로 시도한 것)는 모든 DAG에 약 k 개의 분리 된 k- 컷 이 있어야한다는 것을 보여 주려고 시도했습니다 . 불행하게도,이 시도가 심하게 실패 할 수 있다는 예 2는 : 편안한 인수를 통해, 데이빗 엡스타인이 한 표시 에 대한 것을 K 에 대한 $k$ $k$$k$n , 그래프Tn은 4 개 이상의분리 된k-컷을가질 수 없습니다! $\sqrt{n}$$T_n$ $k$

2두기 :하는 것이 중요 K 만하면 절단의 모든 장기 파괴 의 - t의 모든 긴 경로를 반드시 경로 및 없음. 즉, 모든 "순수한" k- 컷 ( s 또는 t에 닿는 가장자리는 피함 )이 거의 모든 가장자리를 포함해야하는 ^{1 개의} DAG 가 있습니다. 그래서 내 질문은 실제로 : s 또는 t로 입사하는 모서리를 제거 할 수있는 가능성 은 k 컷 의 크기를 실질적으로 줄일 수 있습니까? 아마도 대답은 부정적이지만 아직 반례를 찾을 수 없었습니다. $k$$s$$t$$k$$s$$t$$s$$t$$k$

동기 부여 : 내 질문은 모노톤 스위칭 및 정류기 네트워크에 대한 하한값을 제공함으로써 동기 부여됩니다. 이러한 네트워크는 DAG 일 뿐이며 일부는 "is x i = 1 ?" 테스트로 레이블이 지정되어 있습니다. (테스트는 없습니다 x i = 0 ). 네트워크 의 크기 는 레이블이 지정된 가장자리의 수입니다. 이 생길 경우는 입력 벡터가 허용된다 (S) - (T)를 그 검사이 벡터와 일치하는 모든 경로. 마르코프있다 증명 그 단조로운 경우 부울 함수 F는 더 minterms보다 짧은 없다 L 및 이하 maxterms 짧은 w 후, 크기 $x_i=1$$x_i=0$$s$$t$$f$$l$$w$⋅ w 가 필요합니다. 내 질문에 긍정적 인 대답에 대한 크기의 네트워크를 의미하는 것입니다 K를 ⋅ 승 k는 필요 최소한 경우, w k 개의 변수로 설정해야합니다 0 보다 긴 모든 minterms을 파괴하기 위해 K .$l\cdot w$$k\cdot w_k$$w_k$$0$$k$

¹ 이 논문 에서 구성이 제공됩니다 . 깊이 log n 의 완전한 이진 트리 T 를 가져옵니다 . 모든 모서리를 제거하십시오. 모든 내부 노드의 경우 V 에 에지 그려 V를 좌측 서브 트리의 모든 리프로부터 T에서 V , 및 에지에서 V 의 우측 서브 트리의 모든 리프에 T의 V . 따라서, T의 2 개의 모든 잎은 DAG에서 길이 2 의 경로에 의해 연결된다 . DAG에 자체가 ~ n 개의 노드와 ~ N 로그 N 가장자리하지만 Ω ( $T$$\log n$$v$$v$$T_v$$v$$T_v$$T$$2$$\sim n$$\sim n\log n$로그 N ) 가장자리보다 긴 모든 경로를 파괴하기 위해 제거해야합니다$\Omega(n\log n)$n .$\sqrt{n}$

[자신의 답변; 이 버전은 단축 버전입니다. 이전 버전은 여기 에서 찾을 수 있습니다. ]

우리는 내 질문에 대한 대답이라고 게오르그 Schnitger 실현 강하게 부정 : (심지어 일정 정도의) DAG에가있을 곳마다 K 이 있어야합니다 절단의 일정에 , 단지 약 모든 가장자리의 일부를 1 / 케이 같이 분수 내 질문. ( 위의 각주에 언급 된 훨씬 더 간단한 구성을 사용 하면 1 / log k 비율이 필요할 수있는 약간 약한 결과를 얻을 수 있습니다. 빠른 기록은 여기에 있습니다 ) $k$$1/k$$1/\log k$

즉, "심도 감소 및 격자" 논문 에서 Georg 는 n = m 2 m 노드 에서 일정한 최대 각도 d 의 방향성 비순환 그래프 H n 을 다음 속성으로 구성했습니다.$H_n$$d$$n=m2^m$

• 모든 상수 0 ≤ ε < 1 상수가 C는 > 0 기껏 중 일부 경우되도록 C , N 노드로부터 제거 H N 나머지 그래프 길이의 경로를 적어도 포함 2 ε의 m이 . $0\leq \epsilon < 1$$c > 0$$cn$$H_n$$2^{\epsilon m}$

이제 두 개의 새로운 노드를 가지고 S 및 t를 , 에지로부터 끌어 들 마다 노드 H , N , 및 모든 노드 에지 H N 에 t . 결과 그래프 G n은 여전히 최대 2 n + d n = O ( n ) 가장자리를 갖습니다.$s$$t$$s$$H_n$$H_n$$t$$G_n$$2n+dn=O(n)$

모든 상수 0 ≤ ϵ < 1 마다 상수 c ' > 0 이있어 최대 c ′ n의 서브 세트가 G n 에서 제거 되면 나머지 그래프 에 2 ϵ m 또는 s - t 경로가 포함됩니다. 더 많은 가장자리. $0\leq \epsilon < 1$$c ' > 0$$c'n$$G_n$$s$$t$$2^{\epsilon m}$

증명 : G n 의 H n 내부 노드의 노드를 호출합니다 . G n 에서 최대 c ' n 모서리 의 모든 부분 집합을 제거합니다 . 여기서 c ' = c / 2 입니다. 그 후, 제거 된 가장자리에 내부 노드가있는 경우 제거하십시오. 최대 2 c ′ n = c n 내부 노드가 제거됩니다. 살아남은 노드에 발생한 가장자리는 제거되지 않았습니다. 특히, 살아남은 각 내부 노드는 여전히 노드 s 와 t에 모두 연결되어 있습니다.$H_n$ $G_n$$c'n$$G_n$$c'=c/2$$2c'n=cn$$s$$t$. H n 의 상기 특성에 의해, 생존 된 내부 노드로 구성된 길이 2 ϵ m 의 경로가 남아 있어야한다 . 이러한 각 경로의 끝 점이 유지되었으므로 각 경로는 G n 의 s - t 경로 로 확장 될 수 있습니다 . QED$H_n$$2^{\epsilon m}$$s$$t$$G_n$

결과는 슬프다. 긴 단기 용어 집합에 약간의 "복잡한"구조가 있어도 짧은 단기 용어 가 많은 함수에 대한 Markov의 정리는 유사 하지 않다 . 네트워크 크기에 대한 초 선형 하한은 이 "길이 x 너비"인수.

PS이 "길이 곱하기 너비"인수 (모두 s - t 경로가 충분히 긴 경우)는 Moore와 Shannon (1956)에 의해 초기에 사용되었습니다 . 유일한 차이점은 정류가 허용되지 않는다는 것입니다 (라벨이없는 모서리). 사실 이것은 "무어 샤논-마코프 논쟁"입니다.$s$$t$