사각형의 스패닝 트리 수에 대한 정확한 공식

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이 블로그에서는 컴퓨터를 사용하여 "트위스 티 작은 미로"를 생성하는 방법에 대해 설명합니다. 열거 형은 Wilson의 알고리즘 을 사용 하여 UST 를 얻을 수 있지만 얼마나 많은 수식을 기억하지 못합니다.

http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike

기본적으로 행렬 트리 정리 는 그래프의 스패닝 트리 수는 그래프의 라플라시안 행렬의 결정자와 같습니다. 하자 $G= (E,V)$ 그래프하고 인접성 행렬, 다음에,도 행렬 고유치와는 : 다음, $A$ $D$ $\Delta = D - A$ $\lambda$

k (G) = \frac{1}{n} \prod_{k = 1}^{n - 1} λ_{k}

$k(G) = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k$

의 경우에 $m \times n$ 직사각형 모두 및 고유치 I 찾을 수없는 특히 간단한 형태를 취한다. $A$

$m \times n$ 사각형 의 스패닝 트리 수에 대한 정확한 공식 (및 무증상)은 무엇입니까?

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

다음 은 윌슨 알고리즘의 실제 예입니다.

— 존 망구
소스

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정수 시퀀스 의 온라인 백과 사전 정확한 공식은 도출하기 쉽지 않습니다.

— 피터 쇼어

@PeterShor OEIS 인용 : Germain Kreweras, Complexite et circuits Euleriens dans les sommes tensorielles de graphes , J. Combin. 이론, B 24 (1978), 202-212. 그는 우리와 같은 대상입니까?

— john mangual

m \times n

$m \times n$

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https://www.cse.ust.hk/~golin/pubs/ANALCO_05.pdf 에 따르면 알려진 폐쇄 형 공식은 없습니다.

$n$ $m$

\exp (z_{s q} m n)

$\exp (z_{\mathrm{sq}}mn)$

z_{s q} = \frac{4}{π} \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{i}}{(2 i + 1)^{2}} \approx 1.16624

$z_{\mathrm{sq}}=\frac{4}{\pi}\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{(2i+1)^2}\approx 1.16624$

m

$m$

n

$n$

— 데이비드 엡스타인
소스

arxiv.org/pdf/math-ph/0011042.pdf (구체적으로는 2 번과 발의안 제 13 호 )에 주어진 사각형의 스패닝 트리 수 (및 직선 다각형으로 묘사 된보다 일반적인 하위 그래프 순서)에 대한 정확한 점근 법 공식이 있습니다. )

— Lorenzo Najt

다시 말하지만, 그것은 수학적 물리 저장소에 있습니다. 그들은 점근 적 공식을 엄격하게 증명합니까, 아니면 물리와 같은 ansatz 추론을 사용합니까?

— David Eppstein

Acta Math 185 (2000) no. 2, 239-286.

— Lorenzo Najt

0

mxn 사각형 그래프의 고유 값을 사용하여 이러한 그래프에서 완벽하게 일치하는 수에 대한 표현식을 얻을 수 있습니다. 도미노 타일링에 대한 Wikipedia 기사를 참조하십시오 .

— 타이슨 윌리엄스
소스

이것은 흥미롭지 만 이것이 어떻게 문제를 해결하는지 자세히 설명 할 수 있습니까? 이 특별한 경우에 완벽한 매칭과 스패닝 트리 사이에 어떤 종류의 매핑이 있습니까?

— Saeed