쇼어 알고리즘의 Odlyzko 개선이 시행 횟수를

Peter W. Shor는 1995 년 양자 컴퓨터의 소인수 분해 및 이산 로그에 대한 다항식 시간 알고리즘 에서 그의 인수 분해 알고리즘의 주문 찾기 부분에 대한 개선에 대해 논의합니다. 표준 알고리즘 은 모듈로 의 차수 의 제수 인 출력 합니다. 인지 확인하여 인지 확인하는 대신 개선 사항은 다음과 같습니다. $r'$ $r$ $x$ $N$ $r'=r$ $x^{r'}\equiv 1 \mod N$

[F] 또는 후보 은 뿐만 아니라 작은 배수 를 고려하여 의 실제 순서인지 확인해야합니다 . [...이 기술은 첫 번째 ( 배수 인 경우 가장 어려운 대한 시행 횟수 를 에서 입니다. Odylzko 1995 로 간주됩니다. $r$ $r ′$ $2r ′ , 3r ′ , \dots$ $x$ $n$ $O(\log \log n)$ $O(1)$ $\log n)^{1+\epsilon}$ $r ′$

[Odylzko 1995]에 대한 언급은 "개인적인 의사 소통"이지만 Peter Shor와 Andrew Odlyzko가이 문제에 대해 논의했을 때 발표되지 않았습니다. 왜 그것이 개선인지 이해하고 있습니다. 시행 횟수가 감소합니다 . 이것에 대한 증거가 있습니까? $O(1)$

quantum-computing nt.number-theory factoring

— 프레데릭 그로스 샨
소스

알고리즘은 무엇을합니까? 본질적으로, 이는 얻어 랜덤 출력한다 . 따라서 의 모든 작은 배수를 확인 하면 이 이들 중 하나 일 가능성이 큽니다 . 은 왜 합니까? 이것이 숫자 이론입니다. Andrew Odlyzko는 수 이론가이며이 문제에 대해 그와 상담했지만 이에 대한 그의 정당성을 완전히 잊어 버렸습니다.

r

$r$

ℓ \leq r

$\ell \leq r$

r^{'} = r / g c d (ℓ, r)

$r' = r/gcd(\ell,r)$

r^{'}

$r'$

r

$r$

(\log n)^{1 + ϵ}

$(\log n)^{1+\epsilon}$

O (1)

$O(1)$

— 피터 쇼어

감사! 숫자 이론가를 직접 찾아야 할 것 같습니다!

— Frédéric Grosshans

MathOverflow 를 시도 할 수 있습니다 .

— Kaveh

나는 그것에 대해 생각하고 있습니다. 나는 곧 대답을 얻지 못하면 아마도 그것을“수치 이론적 방법”으로 재구성 할 것이다. 나는 그것이 고의적 인 기능의 합계로 표현 될 수 있다고 생각합니다.

— Frédéric Grosshans

@Kaveh : MathOverflow에 관한 관련 질문 은 관련 번호 이론 질문을 요구합니다.

— Frédéric Grosshans