Graph Isomorphism이

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내 게시물에 Fortnow의 의견에 의해 동기를 그래프 동형 문제가 아니라는 것을 증거 - 완전한 $NP$ , 그리고 사실에 의해 위한 주요 후보 -intermediate 문제 (안 에서 - 완전한이나 ), I는 알려진 증거에 관심 것을 아닌 . $GI$ $NP$ $NP$ $P$ $GI$ $P$

이러한 증거 중 하나 는 제한된 그래프 자동 형성 문제 의 입니다 (고정 점 자유 그래프 자동 형성 문제는 성임). 이 문제와 다른 일반화는 Lubiw의 " 그래프 동형화 와 유사한 일부 NP- 완전 문제 "에서 연구되었습니다 . 일부는 45 년이 넘더라도 대한 다항식 시간 알고리즘을 찾지 못했다는 사실을 증거로 주장 할 수 있습니다 . $NP$ $NP$ $GI$ $GI$

가 있지 않다는 다른 증거는 무엇입니까 ? $GI$ $P$

cc.complexity-theory graph-isomorphism

— 모하마드 알-투르 키스 타니
소스

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하위 그래프 동형도 NP가 완전합니다.

$\;$

1

다소 약한 증거는 GI와 로그 공간과 동등한 문제의 클래스가 증가하고 있지만 명백한 폴리 타임 알고리즘이없는 것 같습니다. (물론, 그들 중 하나가 폴리 타임 알고리즘을 가지고 있다면 모두 마찬가지입니다.)

— András Salamon

P 대 NP와 유사한 상황 적 증거 : GI 알고리즘의 수십 년간의 최적화, 예를 들어 실험적으로 검증 가능한 P가 아닌 최악의 경향을 여전히 가지고있는 해상 , 주로 주로 임의의 정규 그래프에서.

— vzn

1

GI 테스트를위한 하드 그래프

— vzn

이것에 대해 어떻게 생각하십니까? dharwadker.org/tevet/isomorphism

— Anna Tomskova

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이 질문에 전에, 내 의견이었다 그래프 동형가 P에있을 수 있음을, 즉 P. 그래서 나를 위해 증거로 간주 될지 자신을 물었다 GI가 아니라고 믿을만한 증거가 없다는 것을 : 대한 알고리즘을 성숙이 있다면 - 완전히의 가능한 구조를 악용한다는 그룹 동형 다음 나는 그 GI를 동의, 다항식 런타임을 달성하기 위해 희망이 없을 것입니다 여전히 -groups과 같은 가능한 구조를 악용 아마 P.에이 알려져 있지 알고리즘이다 동형가 테스트 - 여러 떼. 오브라이언 (1994) $p$ $p$ $p$ 그러나 가용 구조를 완전히 활용하는지 또는 다항식 런타임을 달성하기 위해이 알고리즘을 개선 할 희망이 있는지 ( - groups 의 추가 비 명백한 구조를 이용하지 않고) 여부를 판단하기에 충분히 자세히 읽지 않았습니다 . $p$

그러나 Dick Lipton은 2011 년 말에 집단 동 형사상 문제와 그룹 동 형사상 문제의 계산 복잡성을 명확히하기 위해 행동을 요구했다는 것을 알고있었습니다 . 그래서 나는 봤다. $p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

행동 요청이 성공적 이었는지 확인하기 위해. 실제로는 :

마지막 포스트는 특정 그룹의 특정 그룹에 대해 런타임을 달성 하고 사용 가능한 구조를 많이 활용하며 1994 년부터 위에서 언급 한 논문을 인정하는 논문을 검토합니다. 런타임 경계 그래프 동 형사상이 실제로 어렵지 않은 경험과 아무도 다항식 시간 알고리즘 (그룹 동 형사상이 아님)을 생각 해낼 수없는 경험과 양립 할 수 있습니다. . $n^{O(\log \log n)}$ $n^{O(\log \log n)}$

— 토마스 클림 펠
소스

rjlipton.wordpress.com/2015/03/05/news-on-intermediate-problems 도 저의 검색에 의해 나타났습니다. 이는 인용 정리 2 그래프는 동형 인 . 또한, 모든 약속 문제 속한 약속 문제에 대해 정의 된 바와 같다. ${\mathsf{RP}^{\mathrm{MCSP}}}$ ${\mathsf{SZK}}$ ${\mathsf{BPP}^{\mathrm{MCSP}}}$ 이것은 GI가 NP- 완전하지 않다는 증거이지만 여기서는 문제가되지 않았습니다. 증거의 요청을 합리적인 의견에 대한 요청으로 해석하기 때문에 대답의 길이나 스타일에 문제가 없다고 덧붙입니다.

— 토마스 클림 펠

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나는 당신의 추론을 따르지 않습니다. "사용 가능한 구조"가 "완전히 악용 됨"을 어떻게 알 수 있습니까? Grochow-Qiao 논문이 코호 몰 로지 수업으로 더 많은 것을 할 수 있다고 제안하지 않습니까?

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov "사용 가능한 구조"란 그룹 이론 커뮤니티, 관련 커뮤니티 및 기존 출판물의 구조에 대한 지식을 의미합니다. 구조가 "완전히 악용되지는 않았다"는 실용적으로 구현 가능한 알고리즘을 생각해내는 것이 주요 목표 인 출판물이며, 따라서 어떤 시점에서 멈추고 나머지 제한 사항은 기본 사항인지 여부를 명확하게 표시하지 않고 언급합니다. Grochow-Qiao 논문은 그것들을 검토하고 그룹 동형의 계산 복잡성을 직접 공격했기 때문에 결과는 좋은 증거를 제공합니다.

— 토마스 Klimpel

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블랙 박스 설정에 사소하지 않은 순열이 없는지 확인하기 위해 확인해야하는 최소 순열 세트는 보다 낫습니다 여전히 지수 OEIS A186202 입니다. $n!$

레이블이없는 그래프를 저장하는 데 필요한 비트 수는 입니다 . Naor, Moni를 참조하십시오. "라벨이없는 일반적인 그래프의 간결한 표현." 이산 응용 수학 28.3 (1990) : 303-307. 내가 기억한다면 압축 방법 증명은 조금 더 깨끗합니다. 어쨌든, 그 세트 호출 할 수 있습니다 . 레이블이 지정된 그래프에 대해 라고 합시다 . $log_{2}$ ${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$ $U$ $L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)

$U^L$ 지수로 변환하면 및 입니다. 그래프를 표준 형식으로 표시하는 형식 서명을 검사하는 것만 큼 쉽지만 위에 표시된 것처럼 GC를 사용하면 GI가 쉬워집니다. $Bool^{L^{L}}$

— 차드 브루베이커
소스

감사. 이런 종류의 논쟁은 얼마나 강력합니까?

— Mohammad Al-Turkistany

이 연결을 더 자세히 설명하는 언급이 있습니까?

— vzn

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@ MohammadAl-Turkistany : 이것은 기본적으로 쿼리 복잡성 인수입니다. 그러나 Babai-Luks 1983과 같은 알려진 알고리즘은 이미이 한계를 뛰어 넘었습니다

대

와 같은 상당한 마진으로 생각합니다.

2^{n}

$2^n$

).

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

— Joshua Grochow

1

@ChadBrewbaker : 우려 사항이 코드화되고 평균 사례 복잡도가 높아지면 해상 알고리즘이 알고리즘보다 훨씬 뛰어나다 고 확신합니다. (해상에서 가장 잘 알려진 하한은

(Miyazaki 1996)이며, 미야자키 그래프에 대한 다중 시간 알고리즘이 발견되었습니다. 간단한 분석은 하한을 보여줍니다 알고리즘에). 또한, GI 평균의 경우에 선형 시간 (Babai-쿠 세라).

Ω (2^{n / 20})

$\Omega(2^{n/20})$

(3 / 2)^{n}

$(3/2)^n$

— Joshua Grochow

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\neq

$\neq$

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$GI$ $P$

그럼에도 불구하고 NP- 완전 문제에 대한 다항식 시간 알고리즘을 찾는 것만 큼 그래프 이소 형성에 대한 다항식 시간 알고리즘을 찾는 것이 어려울 것입니다. 그 중 NP- 완료입니다. "

$P$ $n^{O(\log n)}$ $P$

Babai의 논문에서 발췌 한 내용은 다음과 같습니다.

본 논문의 결과는 GI를 P에 배치하는 데 장애가되는 그룹 동 형사상 문제 (및 언급 된 문제 문제)의 중요성을 증폭시킨다. GI의 중간 상태 (NP 완료 또는 다항식 시간이 아님)는 상당히 가능하다 지속됩니다.

— 모하마드 알-투르 키스 타니
소스

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H

$H$

G

$G$

| G | = | H |

$|G|=|H|$

| G | = c | H |

$|G|=c|H|$

c > 1

$c > 1$ . 이산 파라미터의 경우, P에 NP가 빨리 완성되는 문제가 있음을 알고 있습니다 (예 : 2SAT vs 3SAT). P에 급격한 임계 값으로 NP- 완료되는 일부 연속 매개 변수의 문제에 대한 예가 있는지 알고 있습니까? 그렇다면, 이런 종류의 추론은 GI가 P에 있지 않다는 증거는 아니지만, 내 머리 꼭대기에서 그러한 예를 생각할 수는 없습니다.

— Joshua Grochow

2

7 / 8

$7/8$

P

$P$

7 / 8 + ϵ

$7/8+ϵ$

N P

$NP$

ϵ > 0

$ϵ>0$

죄송합니다. Klimpel의 답변에는 이미 동 형사상 증거 그룹이 포함되어 있습니다. 어쨌든, 문제에 대한 Babai의 관점을 갖는 것이 유용합니다.

— Mohammad Al-Turkistany

Babai는 준 다항식 런타임에 대한 주장을 철회했다 . 분석에 오류가있는 것 같습니다.

— Raphael

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여기에 아직 인용되지 않은 다른 결과가 있습니다

Graph Isomorphism / Torán FOCS 2000 및 SIAM J. Comput. 33, 5 1093-1108.

우리는 그래프 동형 문제가 DLOGTIME 균일 성 AC ⁰ 모든 로그 공간 모듈 클래스 클래스 Mod _k L 에 대한 복잡성 클래스 NL, PL (probabilistic logarithmic space) 및 NC ¹ reducible 클래스의 DET에 대해 획일적으로 감소한다는 것을 보여줍니다. 결정자. 이들은 그래프 동형 문제에 대해 알려진 가장 강한 경도 결과이며, 완벽한 정합 문제에서 그래프 동형에 이르기까지 무작위 로그 공간 축소를 의미합니다. 또한 그래프 이형성 문제에 대한 경도 결과를 조사합니다.
Graph Isomorphism은 그룹 Isomorphism / Chattopadhyay, Toran, Wagner로 AC ⁰ 환원 이 아님

우리는 입력 구조가 곱셈 테이블에 의해 명시 적으로 주어질 때 Group과 Quasigroup Isomorphism 문제에 대한 새로운 상한을 제공합니다. 우리는 이러한 문제가 O (log log n) 깊이 및 O (log ² n) 비 결정적 비트 를 갖는 무한 팬인의 다항식 비 결정적 회로에 의해 계산 될 수 있음을 보여줍니다 . 여기서 n은 그룹 요소의 수입니다. 이는 문제점에 대한 기존의 [Wol94] 상한을 개선합니다. 이전의 상한에서 회로는 팬인이지만 깊이 O (log ² n) 및 O (log ² n) 비 결정적 비트로 제한되었습니다. 그런 다음 상한의 회로가 패리티 함수를 계산할 수 없음을 증명합니다. 패리티는 AC ^0이므로Graph Isomorphism으로 환원 될 수 있다는 것은 AC ⁰ 감소로 정의 된 순서에 따라 Graph Isomorphism이 Group 또는 Quasigroup Isomorphism보다 엄격하게 어렵다는 것을 의미합니다 .

— vzn
소스

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이것들은 실제로 GI에서 가장 강한 알려진 하한이지만, 실제로 P에 있지 않다는 것에 대해 아무 말도하지 않습니다. 첫 번째 경우, DET은 P와 너무 가깝지 않습니다. 두 번째 경우의 구조는 P 내 -degrees 이미 상당히 풍부하다.

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Joshua Grochow

"GI에서 가장 강한 알려진 하한값"에서 ofc GI는 NP에 있으므로 GI가 P에 있지 않다는 실제 증거는 P ≠ NP와 같습니다! (아마도 NPI ≠ ∅ 를 통해 ) ...

— vzn

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예, 그러나 예를 들어 GI가 P-hard라는 것을 아는 것이 좋습니다! (물론, P-hardness는 P에없는 것이 있다는 것을 보여주는

— 것과는 거의 관련