상한을 증명하여 하한 증명

Ryan Williams의 최근 혁신적인 회로 복잡도 하한 결과는 상한 결과를 사용하여 복잡도 하한을 증명하는 증명 기술을 제공합니다. 이 질문에 대한 그의 대답에서 Suresh Venkat은 이론적 인 컴퓨터 과학에 반 직관적 인 결과가 있습니까? , 상한값을 증명하여 하한값을 설정하는 두 가지 예를 제공했습니다.

• 복잡성 상한값을 증명하여 얻은 복잡성 하한값을 증명하는 다른 흥미로운 결과는 무엇입니까?

• (또는 P \ ne NP )를 암시하는 상한 추측이 있습니까?$NP \not\subseteq P/poly$$P \ne NP$

질문을 돌리고 상한을 증명함으로써 증명 되지 않은 하한을 물어볼 수 있습니다. 거의 모든 통신 복잡도 하한 (및 통신 복잡도 인수에 의존하는 스트리밍 알고리즘 하한 및 데이터 구조 하한)은 통신 프로토콜이 인코딩 길이에 따라 인코딩 방식으로 건설적으로 변환 될 수 있음을 보여줌으로써 증명됩니다. 프로토콜의 통신 복잡성 및 프로토콜의 하한은 n-1 비트 이하를 사용하여 모든 n 비트 메시지를 인코딩 할 수 없다는 사실에서 비롯됩니다.

Razborov-Smolensky 회로 하한은 낮은 수준의 다항식으로 경계 깊이 회로를 시뮬레이션하는 방법을 보여줍니다.

상한으로 입증되지 않은 하한의 두 후보는 시간 계층 정리 일 수 있지만 (가장 엄격한 경계를 얻기 위해서는 사소한 알고리즘 작업 인 효율적인 범용 튜링 기계가 필요합니다) 스위칭 렘마를 사용하여 AC0 하한값의 스위칭

이상하게도 PCP 정리 자체는 상한을 통해 하한을 증명하는 좋은 예입니다. 일정한 수의 증명 프로브와 임의의 비트 만 사용하여 증명을 검증하기위한 "효율적인"랜덤 화 된 전략 은 3SAT 인스턴스에서 충족되는 절 수를 근사하기위한 하한으로 이어집니다.$\log n$

비압축성 방법은 Kolmogorov 복잡도를 기반으로 하한을 증명하는 방법입니다. 이 방법의 첫 번째 적용 중 하나는 단일 테이프로 튜링 머신에서 회문을 인식하는 데 2 ​​차 시간이 필요하다는 것을 증명하는 것입니다.

느슨하게 말해서,이 방법의 아이디어는이 입력에서 고려한 문제를 해결하는 알고리즘 실행에 포함 된 정보를 사용하여 입력을 찾는 절차를 설명하는 것입니다. 절차가 좋을수록 원래 문제의 하한이 높아집니다.

물론 Li와 Vitanyi의 교과서 에서 자세한 내용을 확인할 수 있습니다 .

"상한을 통한 하한"질문에 대해 다음과 같이 물었습니다.

STOC 2010 논문 "대화식 통신을 압축하는 방법" [BBCR10] 은 대화식 통신을위한 개선 된 압축 프로토콜을 보여줌으로써 무작위 통신 복잡성에 대한 개선 된 직접 합 정리에 도달했습니다.

특히, 두 당사자가 상호 입력의 일부 공동 기능 (예 : 대화식 계산 시나리오)을 계산하는 경우 비트 를 통신 하고 관련 당사자에게 비트의 새로운 정보를 나타내는 모든 프로토콜을 사용하여 새로운 프로토콜로 시뮬레이션 할 수 있음을 보여줍니다. 비트-개선 된 상한.$C$$I$$\tilde O(\sqrt{CI})$

이 향상된 프로토콜 압축의 결과로 최악의 경우를 보여줍니다. 개별 계산에 시간 이 걸리는 함수 를 고려하면 , 개 사본 을 계산 하려면 최소한 시간이 필요합니다. 하한.$f$$n$$k$$f$$\sqrt{k} \cdot n$

이것은 당신이 요청한 것과는 다소 다르지만 관련이 있기 때문에 언급 할 수 있다고 생각했습니다.

Carter & Wegman (1977) 은 범용 해싱 이라는 개념을 도입했습니다 . 이 개념은 수많은 논문 ( Sipser (1983) , Stockmeyer (1983) , Babai (1985) 및 Goldwasser & Sipser (1986) )에서 대략적인 하한 을 증명하기 위해 사용되었습니다 .

이것은 1987 년까지였으며, 여기서 Fortnow 는 대략적인 상한 을 증명하기 위해 범용 해싱 을 사용했습니다 . (사실, 대략적인 상한을 증명하기위한 프로토콜을 제공합니다.)

편집하다:

이는 하한 결과는 아니지만 어쨌든 유용 할 수 있습니다.

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_2^p}=\rm{\Pi_2^p}$

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{AM}=\rm{MA}$

$\rm{coNP} \subset \rm{NP/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_3^p}=\rm{\Pi_3^p}$

Dick Lipton의 블로그 ( Descriptive Complexity를 통한 P = NP에 대한 접근) 에서 좋은 예를 찾았습니다 . 그는 의미하는 상한 추측 (Hypothesis H)을 제안합니다 .$P\ne NP$

가설 H : 가 Horn 절 합니다. 이들이 만족할 수있는 경우, 조항의 설명 복잡도에서 대부분 다항식 인 설명 복잡성을 갖는 절에 대한 유효한 지정이 있습니다.$C$$C_{1} \wedge \dots \wedge C_{m}$

정리 : 가설 H가 참이라고 가정하자. 그런 다음$P \ne NP$

다음은 계산 복잡성 : Arora와 Barak의 현대적인 접근 방식 (128 페이지)의 예입니다.

모든 언어 경우 사이즈의 회로를 갖는 다음$EXP$$o(2^{n} /n)$$P \ne NP$