가장 작은 정규 람다 항이 가장 빠르지 않은 예

하자가 $size$ 의 $\lambda$ 다음과 같이 정의 될 -terms :

$size(x) = 1$ ,
$size(λx.t) = size(t) + 1$ ,
$size(t s) = size(t) + size(s) + 1$ .

term 의 복잡성을 에서 정상 형태 (Levy의 관점에서 최적의 평가자를 사용하여) 에서 병렬 베타 감소의 수로 정의 하자 . $\lambda$ $t$ $t x$

큰 용어가 복잡성을 낮추는 동일한 함수에 대한 두 개의 일반적인 -terms 예제를 찾고 있습니다. $\lambda$

...

명확성을 위해 편집

내가 묻고있는 것이 분명하지 않은 것처럼 보이므로 확실한 예를 제시하려고 노력할 것입니다. 함수의 "순진한"/ "가장 단순한"정의가 느리고 최적이 아니라는 믿음이 종종 있습니다. 데이터 구조, 수식 등을 추가해야하기 때문에 성능이 향상되면 용어의 복잡성이 증가합니다. fibonacci다음과 같이 "순진하게"정의 할 수있는 좋은 예가 있습니다.

-- The fixed fibonacci definition
fib_rec fib n =
    if (is_zero x) 
        then 1 
        else fib (n - 1) + f (n - 2)

-- Using church numbers instead of the λ-combinator to get a normal form
fib n = n fib_rec 0 n

이것은 종종 fib의 "가장 단순한"정의로 간주되며 매우 느립니다 (지수). 우리가 fib( 교회 수 추가, pred, is_zero에 대한 일반적인 정의) 의 종속성을 확장 하고 정규화하면 다음과 같은 용어를 얻습니다.

fib = (λa.(a(λbc.(c(λdef.f)(λde.d)(λde.(de))
      (λde.(b(λfg.(c(λhi.(i(hf)))(λh.g)(λh.h)))
      d(b(λfg.(c(λhi.(i(h(λjk.(k(jf))))))(λhi.g)
      (λh.h)(λh.h)))de)))))(λbc.c)a))

메모 테이블과 같은 개선으로이 용어가 더 커질 것입니다. 그러나 훨씬 더 작은 다른 용어 가 있습니다 ...

fib = (λa.(a(λb.(b(λcde.(e(λfg.(cf(dfg)))c))))
      (λb.(b(λcd.(cd))(λcd.d)))(λbc.b)))

그리고 흥미롭게도 순진한 것보다 점진적으로 뛰어납니다 O(N). 내가 아는 모든 정의 중에서 이것은 가장 빠르고 간단 합니다. 정렬과 동일한 효과가 발생합니다. 같은 거품 정렬 및 분류 종종 삽입으로 "나이브"정의는 (긴 20 + 선) 거대한 조항에 확장받을 만 이 존재 작은 정의 :

-- sorts a church list (represented as the fold) of church numbers
sort = λabc.a(λdefg.f(d(λhij.j(λkl.k(λmn.mhi)l)(h(λkl.l)i))
       (λhi.i(λjk.bd(jhk))(bd(h(λjk.j(λlm.m)k)c))))e)(λde.e)
       (λde.d(λfg.g)e)c

또한 내가 아는 다른 모든 정의보다 무의식적으로 더 빠릅니다. 이 관찰은 일반적인 믿음과는 달리 가장 작은 Kolmogorov 복잡도를 가진 가장 단순한 용어는 일반적으로 더 빠르다고 믿게합니다. 내 질문은 기본적으로 그 반대의 증거가 있지만 공식화에 어려움을 겪을 것입니다.

— MaiaVictor
소스

어떠한 SQRT (N)의 복잡도가 없다.

n! = n . n - 1....2.1

$n!=n.n-1....2.1$

— T ....

AKS 알고리즘보다 짧은 -term으로 시험 분할을 코딩 할 수 있다고 확신합니다 .

λ

$\lambda$

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek에 동의하며 실제로는 이미 정렬 알고리즘을 살펴보면 예제를 얻는 방법을 알지 못합니다. -term이 거품 정렬을 -term implmenting 보다 짧지 않습니까? 예를 들어 힙 정렬? 또는 무차별 검색, 구현 시간이 짧지 만 기하 급수적 인 시간, 더 많은 코드 줄을 필요로하는 영리한 폴리 타임 알고리즘을 모르겠습니다 ...? 나는 무언가를 놓치고 있어야한다. 나는 그 질문을 정말로 이해하지 못하는 것을 두려워한다.

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

— Damiano Mazza 2016 년

실제로 그것을 쓰려고 노력하지는 않았지만 휴리스틱 원칙으로 두 알고리즘의 상대적 길이는 일반적으로 프로그래밍 언어의 선택에 크게 영향을받지 않으며 -calculus가 예외가되어야 할 이유는 전혀 없습니다. . 특히 정규화는 여기에서 붉은 청어입니다. -calculus 에서 알고리즘을 표현하는 가장 자연스러운 방법 은 get-go에서 정상적인 용어를 제공하며 어쨌든 Unlambda에 대한 경험으로 IIRC를 사용하면 모든 용어를 적용 할 때 동일한 결과를 제공하는 유사한 길이의 정규 용어.

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

— Emil Jeřábek

Damiano가 언급했듯이 AKS는 단지 예일뿐입니다. 사소한 비효율적 인 알고리즘과 같은 문제에 대한 효율적이지만 훨씬 더 정교한 솔루션이있는 상황에서도 거의 동일합니다.

— Emil Jeřábek

Blum의 속력 정리 는 일반적으로 부분 재귀 함수의 언어로 표시되지만 표기법의 사소한 차이까지 -calculus 의 언어와 동일하게 작동합니다 . $\lambda$

합리적인 복잡성 측정치 (예를 들어, 질문에서 최적의 감소 횟수)과 재귀 함수 (예 : ) 가 주어지면 재귀 술어 그런 : $M$ $f(x,y)$ $2^y$ $P(x)$

모든 알고리즘 (예를 들어 여기 정규형 -term) 컴퓨팅 다른 알고리즘가 에 대한 갖는다 -speedup 위에 : $\lambda$ $g$ $P$ $h$ $P$ $f$ $g$
$f (x, M (h, x)) \leq M (g, x) for all large enough inputs x,$ $f(x,M(h,x))\le M(g,x)\text{ for all large enough inputs }x,$

여기서 는 측정 값 에 따른 입력 에 대한 계산의 복잡성을 나타냅니다 . $M(g,x)$ $g$ $x$ $M$

따라서:

$P$ 주어진 측정에서 는 무의식적으로 최적의 알고리즘이 없습니다.
특히, 대한 가장 짧은 알고리즘 은 점진적으로 최적이 아닙니다. $P$
대한 모든 알고리즘 에는 정규 형식이 더 긴 무조건 빠른 알고리즘이 있습니다 (변수의 이름을 바꿀 때까지 주어진 길이의 정규 항은 무한히 많음) $P$

— 에밀 제라 벡
소스