그래프의 스펙트럼 파티셔닝을위한 논문

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경우 무향 인 정규적인 그래프와 기수의 정점의 집합이다 통화 에지 확장 의 금액 $G=(V,E)$ $d$ $S$ $\leq |V|/2$ $S$

$\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|}$

여기서 는 에 하나의 끝 점이 있고 하나의 끝 점이있는 가장자리 수입니다 . 그런 다음 Edge Expansion 문제는 를 최소화 하는 세트 를 찾는 것입니다 . 통화 최적 세트의 확장. $Edges(A,B)$ $A$ $B$ $S$ $|S|\leq |V|/2$ $\phi(S)$ $\phi(G)$

스펙트럼 분할 알고리즘 에지 확장 문제는 고유 벡터를 찾음으로써 동작 의 두 번째로 큰 고유 값의 의 인접 행렬 , 그리고 모든`임계치 세트 '고려 형태의 모든 임계 값에 대한 . 우리가 할 수있는 경우 의 두 번째로 큰 고유 값이어야 매트릭스 후 최고 임계치를 설정하는 스펙트럼 분할 알고리즘 프로그램의 분석 알고리즘을 만족 발견 $x$ $A$ $G$ $S$ $\{ v : x(v) \leq t \}$ $t$ $\lambda_2$ $\frac 1d \cdot A$ $S_{SP}$

$\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)}$

이것은 Cheeger의 불평등 에서 비롯됩니다

$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

과

$1-\lambda_2 \leq 2 \phi(G)$

그러한 주장을 한 첫 번째 논문은 무엇입니까? 아이디어에 대해 어떤 논문을 인정해야합니까? 내가 가진 것은 다음과 같습니다.

알론과 VD Milman. , 그래프와 초 집중 기의 등식 성 불평등, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 1985, 38 (1) : 73-88 $\lambda_1$
"간단한"Cheeger 부등식 의 정신에서 결과를 증명 하지만 가장자리 확장 대신 정점 확장에 대한 결과. 에지 확장과 고유 값 사이의 관계가 Cheeger에서 연구 한 문제의 이산 버전임을 인식하십시오. $1-\lambda_2 \leq 2\phi(G)$
J. Cheeger. 라플라시안의 가장 작은 고유 값에 대한 하한. 1970 년 분석 문제.
알론. 고유 값 및 확장기. Combinatorica. 6 (2) : 83-96, 1986.
어려운 Cheeger 불평등의 사상에 따라서 입증 이지만 가장자리 확장 대신 정점 확장에 사용됩니다. $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$
A. Sinclair, M. Jerrum. Markov 체인의 대략적인 계수, 균일 한 생성 및 빠른 혼합 정보 및 계산 82 : 93-133, 1989 (컨퍼런스 버전 1987)
위에서 언급 한대로 Cheeger 불평등을 증명하십시오. (그들의 논문은 정규 그래프에서 _edge 확장 _과 같은 시간 가역적 Markov 체인의 _conductance_를 연구합니다.) 그들은 Alon과 Milman과 Alon의 기술에 대한 기술을 인정합니다. 그들은 또한 정규 그래프에서 혼합 시간과 에지 확장 사이의 관련 경계에 대해 Aldous를 인정합니다.
미하일. Markov 체인의 컨덕턴스 및 컨버전스-익스팬더의 조합 처리. FOCS 1989, 526-531 페이지
논문의 주요 요점은 기법이 시간을 되돌릴 수없는 마르코프 체인에 적용된다는 점이지만, 정방향 무 방향 그래프에 적용하면 이전 작업보다 유리합니다. 벡터, 여전히 불평등을 얻는다 여기서는 벡터의 레일리 몫입니다. Alon, Milman, Sinclair 및 Jerrum의 인수에는 실제 고유 벡터가 필요합니다. 이는 근사 고유 벡터를 사용하는 빠른 스펙트럼 파티셔닝 알고리즘과 관련이 있습니다. $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda')}$ $\lambda'$

증명 기술 측면에서 인정해야 할 다른 논문이 있습니까?

그래프 분할 알고리즘으로서, 상기 결과의 알고리즘 적 중요성은 언제 처음 인식됩니까? 위의 논문은 그러한 논의가 없습니다.

— 루카 트레비 산
소스

[A, B]

$[A,B]$

A

$A$

B

$B$

[S, \bar{S}]

$[S, \overline{S}]$

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$\lambda_2$ $\lambda_2$

흥미롭게도 Fiedler의 논문 마지막 부분에는 1971 년부터 Laplacian의 고유 값이라는 제목의 Anderson과 Morley의 독립적 인 기술 보고서가 비슷한 아이디어를 가지고 있다고 지적했다. 그러나 같은 제목의 Anderson과 Morley의 논문은 1985 년에만 Linear and Multilinear Algebra에 실 렸습니다.

— 미샤 벨킨
소스

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그 시대를 기억하는 몇 가지 추가 참고 자료 :

1) Diaconis와 Stroock, Markov 사슬의 고유 값에 대한 기하 경계, 1991 년 적용 확률 분석; 하지만 1990 년 언젠가 프리 프린트에 손을 대는 것을 기억합니다.

2) Dodziuk, 차이 방정식, 특정 무작위 보행의 등식 성 불평등과 일시적 현상, 1984 년 미국 수학 협회의 거래.

또한 당시 Sinclair와 Jerrum에게 중요한 "알고리즘 동반자"논문은

3) 볼록 체의 부피를 근사하기위한 랜덤 다항식 시간 알고리즘 인 Dyer Frieze Kannan, STOC 89. 물론 결과는 SJ를 기반으로 작성되었습니다.

— V 비네
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