Razborov는 모노톤 함수 매칭이 mP 가 아님을 증명했습니다 . 그러나 몇 가지 부정으로 다항식 크기 ​​회로를 사용하여 일치를 계산할 수 있습니까? 와 P / 폴리 회로 거기에 $O(n^\epsilon)$ 을 계산하여 매칭이 있음을 부정? 부정의 수와 일치하는 크기의 균형은 무엇입니까?

Markov는 n 입력 의 모든 기능을 ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ 부정 만으로 계산할 수 있음을 증명했습니다 . 효율적인 건설적인 버전은 Fisher에 의해 설명되었습니다. GLL 블로그 의 결과 설명도 참조하십시오 .$n$$\lceil \log (n+1)\rceil$

더 정확하게:

정리 : 가정하자 회로에 의해 계산 된 C 와 G의 게이트, 그것은 또한 회로에 의해 계산되는 C * 와 2 g + O ( N 2 로그 2 N ) 게이트 및 ⌈ 로그 ( n + 1 ) ⌉ 부정.$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$$C$$g$$C^*$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$

주요 아이디어는 각 전선에 대한 추가하는 것입니다 에 C parellel 와이어를 승 ' 에 C * 항상의 보수 수행하는 것이 w를 . 기본 케이스는 입력 선을위한 : 피셔 반전 회로를 구성하는 방법을 설명 I ( X ) = ¯ X 와 O ( N 2 로그 2 N ) 게이트 만 ⌈ 로그 ( N + 1 ) ⌉ 부정. 회로의 AND 게이트를 들어 C , 우리는 보강 수 $w$$C$$w'$$C^*$$w$$I(x) = \overline x$$O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$$C$ 와 ' = B ' ∨ C ' 와 마찬가지로 대 OR 게이트. C의 NOT 게이트는아무 비용도 들지 않으며,NOT 게이트 의 다운 스트림에서 w 와 w ' 의 역할을 바꾸면됩니다. 이러한 방식으로, 인버터 서브 회로 이외의 전체 회로는 모노톤이다.$a = b \land c$$a' = b' \lor c'$$C$$w$$w'$

금주 모임 Markov. 함수 시스템의 역전 복잡성. J. ACM , 5 (4) : 331–334, 1958.

엠제이 피셔. 부정 제한 네트워크의 복잡성-간단한 설문 조사. 에서 오토마타 이론과 공식 언어 , 71-82, 1975

n 부정을 사용하여 비트 의 반전을 계산하는 방법$2^n-1$$n$

비트하자 즉, 내림차순으로 정렬 I < j는 의미 X I ≥ X J를 . 이는 Ajtai–Komlós–Szemerédi 정렬 네트워크와 같은 모노톤 정렬 네트워크를 통해 달성 할 수 있습니다.$x_0, \ldots, x_{2^n-1}$$i<j$$x_i \ge x_j$

유도 적으로 비트 I n ( → x )에 대한 반전 회로를 정의합니다 . 기본 경우에는 n = 1 이고 I 1 0 ( → x ) : = ¬ x 0 입니다. m = 2 n − 1 이라고하자 . 우리는 감소 I는 N (대 2 m + 1 하나의 비트) I , N - 1 게이트 (위한 $2^n-1$$I^n(\vec{x})$$n=1$$I^1_0(\vec{x}) := \lnot x_0$$m=2^{n-1}$$I^n$$2m+1$$I^{n-1}$$m$ bits) and one negation gate using $\land$ and $\lor$ gates. We use negation to compute $\lnot x_m$. For $i<m$ let $y_i := (x_i \land \lnot x_m) \lor x_{m+i}$. We use $I^{n-1}$ to invert $\vec{y}$. Now we can define $I^n$ as follows:

It is easy to verify this inverts $\vec{x}$ by considering the possible values of $x_n$ and using the fact that $\vec{x}$ is decreasing.

From Michael J. Fischer, The complexity of negation-limited networks - a brief survey, 1975.