두 폴리 토프의 동등성 확인

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변수 의 벡터 와 지정된 선형 구속 조건 세트를 고려하십시오 . $\vec{x}$ $A\vec{x}\leq b$

또한, 두 개의 폴리 토프를 고려하십시오

\begin{aligned} P_{1} & = {(f_{1} (\vec{x}), \dots, f_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \\ P_{2} & = {(g_{1} (\vec{x}), \dots, g_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \end{aligned}

$\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*}$

여기서 와 는 아핀 매핑입니다. 즉, 입니다. ( 과 는 폴리 토프 의 "아핀 매핑"이기 때문에 폴리 토프 입니다.) $f$ $g$ $\vec{c}\cdot \vec{x} +d$ $P_1$ $P_2$ $A\vec{x}\leq b$

문제는, 어떻게 여부를 결정하는 것입니다 과 세트로 동일? 복잡성은 무엇입니까? $P_1$ $P_2$

이 문제의 동기는 센서 네트워크에서 비롯된 것이지만, (아마도 기본적입니까?) 기하학 문제인 것 같습니다. 과 의 모든 꼭짓점을 열거함으로써 아마도 exptime에서 이것을 해결할 수 있지만 더 나은 접근 방법이 있습니까? $P_1$ $P_2$

— 마오 마오
소스

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두 개의 폴리 토프가 동등하다는 것은 무엇을 의미합니까? 세 가지 해석이 곧 내 마음에 떠오른다. 기존의 두 답변은 서로 다른 해석을 가정합니다.

— 이토 쓰요시

세트와 같은 의미입니다.

— maomao

해당 설명을 포함하도록 질문을 편집하십시오. 의견에 그대로 두지 마십시오. 질문은 독립적이어야합니다. 사람들은 의견을 읽을 필요가 없습니다. 감사합니다.

— DW

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다음 접근법을 더 잘 고려할 것인지는 확실치 않지만 복잡한 이론적 관점에서보다 효율적인 솔루션이 있습니다. 아이디어는 합리성의 1 차 이론에 더하기와 순서로 질문을 바꾸는 것입니다. 당신은이 에 포함되어 경우에만, $P_1$ $P_2$

\begin{aligned} Φ := \forall \vec{x} . \exists \vec{y} . (A \cdot \vec{x} \leq b ⟹ (A \cdot \vec{y} \leq b \land \underset{1 \leq i \leq m}{⋀} f_{i} (\vec{x}) = g_{i} (\vec{y}))) \end{aligned}

$\begin{align*} \Phi := \forall \vec{x}.\exists \vec{y}.\left( A \cdot \vec{x} \le b \implies \left( A \cdot \vec{y} \le b \wedge \bigwedge_{1\le i\le m} f_i(\vec{x}) = g_i(\vec{y}) \right)\right) \end{align*}$

P_{1}

$P_1$

P_{2}

$P_2$

Φ

$\Phi$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

실제로 이러한 문제를 해결하기 위해 도구 지원을 찾고 있다면 z3 와 같은 최신 SMT 솔버 가이 이론을 완벽하게 지원합니다.

— 크리스토프 하세
소스

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기본 폴리 토프가 $Ax \le b$ 동일하다 $P_1$ 과 $P_2$ 우리가 구체적인 것을 알지 않는 한 중요하지 않습니다 $A$ 과 $b$ . 이는 일반적인 폴리 토프가 심플 렉스의 아핀 투영이기 때문입니다 (예를 들어, 지글러의 "폴리 토프 강의", 정리 2.15 참조). 따라서 $A$ 과 $b$ 심플 렉스를 인코딩하면 귀하의 질문은 일반적인 폴리 토프 동형이 얼마나 어려운지 묻는 것과 같습니다. 빠른 검색은 Kaibel과 Schwartz 의 Polytope Isomorphism Problems의 복잡성에 관한 다음 논문 을 보여줍니다.

— 데니스 판 크라 토프
소스

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나는이 주장이 효과가 있다고 생각하지 않습니다-인용 된 정리에 의해 주어진 심플 렉스의 차원을 무시합니다. (삭감이 있는지 확인이 다항식 경계의 필요 때문에 X는 입력의 일부입니다)

— 콜린 맥 퀼란

좋은 지적! 내 주장은 여전히 통과되어야하지만 우리는 내가 인용 한 논문의 증거로 들어가야합니다. 그래프로 시작하여, 이들은 폴리 토프를 구성하여, 상응하는 폴리 토프가 동형 일 경우에만 2 개의 그래프가 동형이되도록한다. 그들의 폴리 토프는 다항식 수의 정점을 가지며, 그들의 정점 설명은 다항식 시간으로 계산 될 수 있습니다. 따라서 정점 수인 차원에서 (A, b)를 단순한 것으로하고, 정점 설명에서 얻을 수있는 폴리 토프를 제공하는 아핀 투영으로 f를 취할 수 있습니다.

— Denis Pankratov