최소한의 덧셈을 사용한 행렬 벡터 곱셈 알고리즘

다음 문제를 고려하십시오.

행렬 주어지면 계산을위한 곱셈 알고리즘의 추가 수를 최적화하려고합니다 .$M$$v \mapsto Mv$

행렬 곱셈의 복잡성과 관련이 있기 때문에이 문제가 흥미 롭습니다 (이 문제는 제한된 행렬 곱셈 버전입니다).

이 문제에 대해 무엇을 알고 있습니까?

이 문제와 관련하여 행렬 곱셈 문제의 복잡성과 관련된 흥미로운 결과가 있습니까?

이 문제에 대한 답은 게이트가 추가 된 회로를 찾는 것 같습니다. 빼기 게이트를 허용하면 어떻게됩니까?

이 문제와 다른 문제 사이의 축소를 찾고 있습니다.

에 의해 동기

• 0-1 행렬 벡터 곱셈의 자동 최적화
• Fine-Grained Complexity Theory에서 이러한 가설들 사이의 관계는 무엇입니까?

이것은 본질적으로 Valiant가 매트릭스 강성을 복잡성에 도입하도록 동기를 부여 한 문제입니다 (역사를 이해하는 한).

선형 회로는 게이트 만 2 입력 선형 조합 게이트 인 대수 회로입니다. 모든 선형 변환 (매트릭스)은 2 차 크기의 선형 회로로 계산할 수 있으며 문제는 언제 더 잘할 수 있는가입니다. 랜덤 매트릭스의 경우 훨씬 더 나은 결과를 얻을 수 없습니다.

푸리에 변환 행렬, 낮은 순위의 행렬 또는 희소 행렬과 같은 일부 행렬은 훨씬 더 잘 수행 할 수 있습니다.

선형 크기와 로그 깊이 (Valiant) 인 선형 회로로는 충분히 견고한 매트릭스를 계산할 수 없지만 오늘날까지 선형 회로의 크기에 수퍼 선형 하한이있는 명시 적 매트릭스는 알려져 있지 않습니다.

주어진 매트릭스에 대해 가장 작은 선형 회로의 크기를 계산하는 것이 어렵다는 결과를 본 기억은 없지만 NP-hard라면 놀라지 않을 것입니다.

$M$

• $\Omega(n (\log n/\log \log n)^{d-1})$$M$$n\times n$$d$

• $\Omega(n^{4/3})$$M$$n\times n$$d$

• $\tilde{\Omega}(n^{2-2/(d+1)})$$M$$n\times n$$d$

이 범위는 모두 본질적으로 최선입니다. 6.3 장을 참조하십시오. 에 Chazelle의 책 .