가

37

다항식 계층의 첫 번째 수준 (즉, NP 및 co-NP)은 PP에 있으며 입니다. 또한 Toda의 정리 에서 입니다. $PP \subseteq PSPACE$ $PH \subseteq P^{PP}$

여부를 알고 있습니까? 그렇지 않다면, 왜 즉 A를 오라클보다 강한 ? 그것은 가능성이 및 ? $PH \subseteq PP$ $P$ $PP$ $PP$ $PH \nsubseteq PP$ $PP \nsubseteq PH$

이 질문은 매우 간단하지만 그 문제를 해결하는 자료를 찾지 못했습니다.

내가 물었다 이 더 많은 주제에 대해 학습하기 전에 수학 오버 플로우에 관련하지만 훨씬 덜 구체적 질문을.

여기서 다소 관련된 (그러나 다른)는 질의 : 된다 ? $coNP^{\#P}=NP^{\#P}=P^{\#P}$

업데이트 : Noam Nisan의 질문을 여기에서보십시오 : PP의 PH에 대한 추가 정보?

cc.complexity-theory counting-complexity polynomial-hierarchy

— Ben 베넷
소스

37

Lance와 Robin이 지적한 것처럼 Huck은 PH가 PP에없는 것에 대한 oracles를 가지고 있습니다. 그러나 그것은 당신의 질문에 대한 답이 아닙니다. 그것은 상황이 "실제"(비상 대화 된) 세계에 있었던 것입니다!

짧은 대답은 (복잡성 이론에서 다른 많은 것들과 마찬가지로) 우리가 모른다는 것입니다.

그러나 더 긴 대답은 실제로 PH ⊆ PP라는 추측에 대한 합당한 이유가 있다는 것입니다.

먼저, Toda의 정리는 PH ⊆ BP.PP를 의미합니다. 여기서 BP.PP는 "BPP가 P이므로 PP에 대한 복잡성 클래스"입니다 (즉, 랜덤 화를 사용하여 원하는 MAJORITY 계산을 결정할 수있는 PP) 행하다). 둘째, 그럴듯한 비 무작위 화 가설 (Nisan-Wigderson, Impagliazzo-Wigderson 등의 P = BPP를 암시하는 것과 유사)에서 PP = BP.PP를가집니다.

다른 질문에 대한 부록 :

(1) PP = P ^PP 인지 아닌지에 대한 강력한 직관이 없다고 말하고 싶습니다 . 우리는 PP가 아래 닫혀 있는지, Beigel-Reingold-Spielman와 Fortnow - Reingold의 결과에서 알 수 nonadaptive (사실 테이블) 감소. 다시 말해, PP 오라클에 병렬 쿼리를 수행 할 수있는 P 머신은 PP 자체보다 강력하지 않습니다. 그러나 이러한 결과 가 PP 오라클에 대한 적응 형 (비 병렬) 쿼리에 대해 완전히 분류된다는 사실 은 후자가 실제로 더 강력하다는 것을 시사합니다.

(2) 마찬가지로, NP ^PP 및 coNP ^PP 는 여전히 P ^PP 보다 강력 할 수 있습니다 . 그리고 PP ^PP 는 여전히 더 강력 할 것입니다. 시퀀스 P, PP, P ^PP , PP ^PP , P ^{PP ^ PP} 등을 계수 계층 구조 라고하며 , 사람들이 PH가 무한하다고 추측하는 것처럼 CH도 추측 할 수 있습니다. 무한하다. 이는 일정한 깊이의 임계 값 회로 (예 : 신경망)에서 더 많은 임계 값 게이트 레이어를 추가하면 더 많은 계산 성능을 제공한다는 믿음과 밀접한 관련이 있습니다.

— 스콧 애런 슨
소스

7

스캇, 저는 PP가 PH를 포함 할 것이라는 "명백하게"진술에 약간 혼란스러워합니다. Oracles를 통해 PP에서 PH를 처음 분리 할 때는 조합 코어에서 AND와 OF를 폴리 로그도 임계 값 게이트로 시뮬레이션 할 수없는 원래 Minski & Papert 분리가 가능합니다. 나는 Toda의 비 균일 버전이 정답 whp를 얻는 polylog-degree threshold gate를 통한 확률 분포에 의해 AC0을 시뮬레이션한다고 생각합니다. 따라서 비 균일 레벨에서 "BP"게이트는 비 균일 P 대 BPP 또는 NP 대 AM과 달리 상당한 전력을 추가합니다. 예를 들어 랜덤 오라클을 사용하는 PP의 PH는 무엇입니까?

— Noam

Noam, 랜덤 오라클을 가진 PP는 BP.PP를 포함하지 않습니까? (왜 그렇게해서는 안되는지 모르겠습니다.) 그렇다면 PH가 랜덤 오라클과 함께 PP에 있는지 확인하십시오. 그러나 또 다른 질문을하겠습니다 : C 가 BP.C와 같지 않다고 믿을만한 충분한 이유가 있습니까?

— Scott Aaronson 21시 39 분

임의의 oracle이있는 PP = BP.PP임을 나타내려면 증폭이 필요합니다. 어떻게해야할지 모르겠습니다. 불균일하게도 PH가 PP / 폴리에 있음을 알 수 없습니다. polylog-degree-threshold에 있지 않은 AND-O-OR이 균일하지 않은 PH조차도 PP에 있지 않다고 제안하지 않습니까?

— 노암

여기 쇼 BP.PP는 그럴듯한 가설에서 PP를 =하는 종이는 다음과 같습니다 www.cs.uwyo.edu/~jhitchco/papers/hhdcc.ps

— 스콧 애런 슨

8

내가 놓친 것은 Fortnow와 Reingold가 PP가 진실한 감축, PRG (또는 불균일 또는 임의의 oracle로)를 사용하여 무작위 화를 제거하기 위해 필요한 폐쇄로 폐쇄되었다는 것을 보여 주었다. 그러나 나는 여전히 여기에 의아해하고 그것에 대해 질문을 공식화했습니다 : cstheory.stackexchange.com/questions/3331/more-on-ph-in-pp

— Noam

23

리차드 Beigel는 보유 오라클 되는 상대 PP에 포함되어 있지 않습니다. $P^{NP}$

— 랜스 포트 노우
소스

20

Vereshchagin [Ver]은 PP에 AM이 포함되어 있지 않은 Oracle이 있음을 보여주었습니다. (이 결과는 대 PP 결과 와 비교할 수없는 것으로 보입니다 .) $P^{NP}$

[Ver] NK Vereshchagin. PP의 힘에 관한 것 , IEEE 복잡한 절차 ', pp. 138-143, 1992.

— 로빈 코타 리
소스

13

지금까지 언급되지 않은 (내가 볼 수있는 한) 관계 화되지 않은 세계에서 보유하고있는 것은 다음과 같습니다.

P H \subseteq P P if Q M A = P P .

$PH \subseteq PP \quad\mbox{ if }\quad QMA = PP.$

이것은 Vyalyi 가이 논문 에서 관찰 한 것으로 두 가지 이론의 강화에서 비롯된 것입니다.

$\sharp P$ $P$ $PH$
$QMA \subseteq PP$ $QMA$ $A_0PP$ $PP$

— 알레산드로 코센 티노
소스