간단한 무 방향 그래프에서 임의의 걷기 및 평균 타격 시간

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하자 에 간단한 무향 그래프 될 정점과 가장자리. $G=(V,E)$ $n$ $m$

임의의 스패닝 트리 를 생성하기 위해 Wilson 알고리즘 의 예상 실행 시간을 결정하려고합니다 . 이를 것으로 나타내고있다 여기서 는 IS 평균 히팅 시간 : 여기서, $G$ $O(\tau)$ $\tau$

τ = \sum_{v \in V} π (v) \cdot H (u, v),

$\tau = \sum_{v \in V} \pi(v) \cdot H(u, v),$

$\pi$ 는 고정 분포 . $\pi(v)=\frac{d(v)}{2m}$
$u$ 는 임의의 정점이며
$H(u,v)$ 는 적중 시간 (AKA 액세스 시간 ), 즉 정점 에서 시작하여 정점 가 방문 되기 전의 예상 단계 수입니다 . $v$ $u$

평균 타격 시간의 일반적인 상한은 얼마입니까? 그리고 평균 타격 시간을 최대화 하는 최악의 그래프 는 무엇입니까? $G$

내 질문을 명확하게하기 위해 계산이나 자세한 증거가 필요하지 않습니다 (향후에이 질문이있는 다른 사람에게 유용 할 수는 있지만). 개인적으로 인용하면 충분합니다.

이 논문 은 예상 커버 시간 (모든 정점을 처음 방문했을 때) 에서 작동 하는 Broder의 또 다른 알고리즘을 언급합니다 . 그런 다음 평균 타격 시간은 항상 커버 시간보다 짧습니다. 그러나 전용의 경계 점근선 제공 에 대한 대부분의 그래프 (즉, 팽창기 그래프 와 함께 대조) (다소 더 포괄적 정의를 가장 그래프의 브로가 대부분 ). $\Theta(n)$ $\Theta(n \log n)$

평균 타격 시간은 이고 커버 시간은 그래프의 예를 보여줍니다 . 이것이 후자에게는 최악의 경우로 알려져 있지만, 그는 전자의 최악의 경우에 대해서는 구체적으로 말하지 않습니다. 이것은 Wilson 알고리즘의 최악의 경우가 와 사이에있을 수 있음을 의미합니다 . $\Theta(n^2)$ $\Theta(n^3)$ $O(n^2)$ $O(n^3)$

내가 알고있는 Wilson의 알고리즘에는 공개적으로 사용 가능한 두 가지 구현이 있습니다. 하나는 Boost Graph Library 에 있고 두 번째는 graph-tool에 있습니다. 전자의 문서는 실행 시간을 언급하지 않지만 후자는 다음과 같이 말합니다.

랜덤 그래프의 일반적인 실행 시간은 입니다. $O(n \log n)$

이것은 질문에 대답하지 않으며 실제로 Wilson의 논문과 일치하지 않는 것 같습니다. 그러나 구현 문서를 참조하는 것과 동일한 아이디어로 모든 사람의 시간을 절약하기 위해이 경우를 대비하여보고합니다.

최악의 경우로 인해, 도당 경로를 연결하여 구성되는 그래프에 의해 달성 될 수 있다는 I는 초기에 희망했던 로바 츠 부딪 치기 시간만큼 높게 될 수 . 그러나이 분포는 고정 분포에서 정점을 선택할 때 약 입니다. 결과적 으로이 그래프에서 평균 타격 시간에 대한 바운드를 생성합니다. $\Omega(n^3)$ $\frac{1}{n}$ $O(n^2)$

Brightwell과 Winkler 의 논문 은 롤리팝 그래프 의 하위 집합이 예상 타격 시간을 최대화하여 도달 함을 보여줍니다 . Lovász의 Graph도 롤리팝 그래프이지만이 경우에는 도둑 크기가 절반이 아닌 입니다. 그러나 예상 타격 시간과 평균 타격 시간을 혼동하지 않도록주의해야합니다. 이 결과는 이전 결과와 마찬가지로 미리 선택된 두 개의 특정 정점에 대한 예상 타격 시간을 나타냅니다. $4n^3/27$ $\frac{2}{3} n$

— 아레 콜렉
소스

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graph-tool의 문서 에서이 오류를 찾아 주셔서 감사합니다! 실제로 일반적인 랜덤 그래프의 경우 평균 타격 시간은 아니라 (예 : arxiv.org/abs/1003.1266 참조 . 이것은 다음 버전에서 수정 될 것입니다. 또한 graph-tool은 그 아래에 Boost Graph Library를 사용하므로 실제로 구현되지는 않습니다.

O (n)

$O(n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Tiago Peixoto

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@Tiago 기꺼이 공헌합니다! 당신의 의견에 감사드립니다. David Wilson의 답변으로 내 답변을 업데이트 했으므로 최악의 경우 예상 시간을 언급하는 데 관심이있을 수 있습니다.

— arekolek

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나는 David Wilson에게 스스로에게 물어보기로 결정했다.

개의 정점 에 대한 무 방향 그래프 의 경우 최악의 평균 타격 시간은 $n$ $\Theta(n^3)$ $n/3$ $n/3$ $H(x,y)$ $x$ $y$ $H(x,y)$ $x$ $y$ $x$

위에서 언급 한 책에는이 사실에 대한 증거조차 있습니다.

$n=2n_1+n_2$ $n_1$ $v_l \neq v_L$ $v_R \neq v_r$ $v_L - w_1 - \cdots w_{n_2} - v_R$

그런 다음 비공식적으로 하는 데 평균 시간이 걸리고 있다고 주장합니다 $n_1$ $v_L$ $\frac{1}{n_1}$ $w_1$ $n_1^2$ $w_1$ $w_1$ $\frac{1}{n_2}$ $n_1^2 n_2$

$n_1 = n_2 = n/3$ $O(n^3)$

분명히, 나는 그들이 말한 시점에서 길을 잃었습니다.

$w_1$ $\frac{1}{n_2}$

$\frac{(n+1)^3}{54}$

그러나 비공식 증거에 대한 의견은 여전히 환영합니다.

— 아레 콜렉
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최근 논문에서 , 우리는 Wilson의 알고리즘에 의해 예상되는 "사이클이 발생하는"횟수에 대해 mn 상한값 (큰 O 없음)을 발견했으며 상수에 가깝습니다. 팝 사이클의 평균 크기가 명확하지 않기 때문에 Wilson의 알고리즘 실행 시간에 대한 직접적인 대답은 아닙니다. 반면에, 나는 "평판"이 충분하지 않아서 의견을 남길 수 없습니다 ...

— 헝 구오
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