예측 메타 이론에서 Impredicative 시스템에 대한 논리적 인 반응

시스템 F와 같은 Impredicative 언어에 대한 논리적 관계는 주변 로직의 Impredicativity에 결정적으로 의존하는 것 같습니다. 구체적으로, forall 유형에 대한 해석은 모든 유형 관계에 따라 정의됩니다. CiC / Coq와 같은 Impredicative 시스템에서는 괜찮지 만, Agda와 같은 예측 시스템에서는 불가능한 것 같습니다.

어떻게 할 수 있습니까? 예를 들어 Agda의 시스템 F에 대한 정규화를 어떻게 증명할 수 있습니까? 자신 만의 환상적인 우주를 만들어야합니까?

— 맥스 뉴
소스

일반적으로 우리가 일반적으로 논리 관계 논증 이라고 부르는 것은 실제로 비현실 성과 관련이 없습니다. 주요 아이디어는 단순히 추상 대수학 용어를 해석 하고 유형을 ( -ary) 관계 로 나타내는 것입니다. $\cal A$ $n$ . $R \subseteq \cal A^n$

이것은 의존적으로 형식화 된 이론을 포함하여 모든 종류의 이론에 완벽하게 작동합니다 (예 : Shürmann 및 Sarnat 참조). $\lambda$

그러나 의심 할 수 있듯이 Agda에서 시스템 F의 정규화를 증명할 수 는 없습니다 (Agda가 예상보다 비밀리에 강력하지 않은 경우 (즉, 우주가 많은 Martin-Löf 유형 이론의 강도에 대해)). 이는 시스템 F의 정규화가 2 차 산술의 일관성을 암시하기 때문입니다 ( $\mathrm{PA}_2$

그러나 Agda에서 증거가 잘못되는 부분을 정확하게 해결하는 것이 유익합니다. 즉, 정량적 정량화의 논리적 관계 해석을 정의하려고 할 때 발생합니다. 비록 비 의존적 결합 ( "종속적"정량화를 포함)의 해석은 아그 다 (Agda)와 같은 이론에서 정결하다.

— 코디
소스

오 정말? Agda에서 시스템 F가 정상화되는 것을 증명할 수 없습니까? 이에 대한 인용이 있습니까?

— Max New

@MaxNew : 실제로 인용을 찾기가 매우 어렵습니다. 내가 찾을 수있는 가장 가까운 것은 마틴-로프 (Martin-Löf) 유형 이론의 강점인데 , 이것은 단일 우주와 어떤 종류의 귀납법을 가진 예측 이론에 대한 문제를 분명히 해결한다. 그러나 Agda는 끔찍한 유도 재귀를 가지고있어 훨씬 강력합니다.

— 코디

그래도 여기에 잘 설명되어 있듯이 유도 재귀가 특정 경우에 정량적 정량화보다 약한 것으로 알려져 있습니다. fplab.bitbucket.org/posts/2012-12-06-induction-recursion.html

— cody

@cody 불행히도, 링크는 더 이상 작동하지 않습니다. 이 콘텐츠를 다시 찾을 수 있습니까? 비 현실성 공식화 분야의 새로운 출판물에 대해 알고 있습니까?

— Łukasz Lew