4주기 자유 그래프 주어지면 2 차 시간에 3주기가 있는지 여부를 결정할 수 있습니까?

다음 -cycle 문제이다 : $k$

인스턴스 : 그래프 방향성이 가진 정점과 최대 가장자리를. $G$ $n$ $n \choose 2$

질문 : (적절한) $k$ 사이클이 있습니까? $G$

배경 : 모든 고정 $k$ 에 대해 시간 내에 $2k$ 사이클을 해결할 수 있습니다 . $O(n^2)$

Raphael Yuster, Uri Zwick : 더 빠른 사이클 찾기. SIAM J.
이산 수학. 10 (2) : 209-222 (1997)

그러나 행렬 곱셈 시간보다 3 사이클 (즉, 3 클릭)을 풀 수 있는지 여부는 알려져 있지 않습니다.

내 질문 : $G$ 에 4 사이클이 없다고 가정하면 $O(n^2)$ 시간 내에 3 사이클 문제를 해결할 수 있습니까?

David는 $O(n^{2.111})$ 시간 3주기 문제의 변형을 해결하기위한 접근 방식을 제안했습니다 .

— 마이클 위 하르
소스

그래프

G

$G$ 의 최소 사이클 길이가 5 이상인 경우 최대

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$ 가장자리를 갖는 것으로 보입니다 . 링크 : link.springer.com/article/10.1007%2FBF01787638

— Michael Wehar 2016

추가 정보는이 논문에서 찾을 수 있습니다 citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.94.8121을

— 마이클 Wehar을

아이젠 브란트, 프리드리히, 파브리 치오 그란 도니 에도 관심이 있으신 것 같습니다. "고정 된 매개 변수 클릭과 지배적 인 설정의 복잡성." 이론적 컴퓨터 과학 326.1 (2004) : 57-67. (아직 모르는 경우).

— Juho

답변:

예, 이것은 알려져 있습니다. 삼각형 찾기에 대한 필수 참고 문헌 중 하나에 나타납니다 ...

즉, Itai와 Rodeh는 SICOMP 1978에서 시간에서 최소 길이 사이클보다 최대 하나 이상의 에지를 갖는 그래프에서 사이클 을 찾는 방법을 보여줍니다 . (여기 초록의 처음 세 문장을 참조하십시오 : http://www.cs.technion.ac.il/~itai/publications/Algorithms/min-circuit.pdf ) 너비 우선의 속성을 기반으로하는 간단한 절차입니다 검색. $O(n^2)$

따라서 그래프에 4 사이클이없고 삼각형이있는 경우 5 사이클 이상을 출력 할 수 없으므로 알고리즘에서 출력해야합니다.

— 라이언 윌리엄스
소스

그것은 차 아니지만, 아론 Yuster 및 Zwick의 ( "찾기 및 계산 지정된 길이주기", Algorithmica 1997) 시간에 삼각형을 찾는 알고리즘을 제공 여기서 의 지수입니다 빠른 행렬 곱셈. 4 사이클이없는 그래프의 경우 및 ( 개가 있음) $O(m^{2\omega/(\omega+1)})$ $\omega$ $\omega<2.373$ $m=O(n^{3/2})$ 사이클의 존재 여부에 관계없이 사이클이 있음) 시간 $4$ $3$ . $O(n^{3\omega/(\omega+1)})=O(n^{2.111})$

— 데이비드 엡스타인
소스

대단해! 정말 감사. :)

— Michael Wehar

그러나 그래프에 4주기가 없으면 최대

가장자리. 링크 :books.google.com/…

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$

— Michael Wehar

내가 틀렸다면 자유롭게 고쳐주세요. 에르 도스 그래프 인 경우 말한다에 의해 "짝수 회로 정리"것 같다

무료 -cycle, 다음이 최대가

2 k

$2k$

가장자리. 링크 :sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X99901073

O (n^{1 + \frac{1}{k}})

$O(n^{1+\frac{1}{k}})$

— Michael Wehar 2016

결과적으로 그래프에 6주기가 없으면 최대

가장자리. 따라서David가 제안한 방법을 사용하여

시간에 3주기가 있는지 확인할 수 있습니다. :)

O (n^{\frac{4}{3}})

$O(n^{\frac{4}{3}})$

O (n^{1.876})

$O(n^{1.876})$

— Michael Wehar 2016

또한, 어떤 고정을 위해

, 경우

인

경우 무료 -cycle, 우리는 확인할 수 있습니다

subquadratic 시간의 3주기를 가지고 있기 때문에

너무 많은 가장자리가 없습니다. 그러나

일 때 흥미로운 일입니다.

이길 수 있습니까 ?

k > 2

$k > 2$

G

$G$

2 k

$2k$

G

$G$

G

$G$

k = 2

$k = 2$

O (n^{2.111})

$O(n^{2.111})$

— Michael Wehar