준 다항식 시간에는 자연스러운 문제가 있지만 다항식 시간에는 문제가 없습니까?

라즐로 바바이 (László Babai)는 최근 그래프 동 형사상 문제가 준 다항식 시간 에 있음을 증명했다 . 시카고 대학교에서의 그의 강연 을 참조하십시오. Jeremy Kun GLL post 1 , GLL post 2 , GLL post 3 의 대화 내용을 참고하십시오 .

Ladner의 정리에 따르면 인 경우 가 비어 있지 않습니다. 즉 에는 도 아니고 도 하지 않은 문제가 포함 됩니다. 그러나 Ladner가 작성한 언어는 인공적인 문제이며 자연스러운 문제가 아닙니다. 조건부 에서도 자연적인 문제는없는 것으로 알려져 있습니다 . 그러나 일부 문제는 팩토링 정수 및 GI와 같은 좋은 후보라고 생각됩니다 .$P \neq NP$$NPI$$NP$$P$$NP$$NPI$$P \neq NP$$NPI$

Babai의 결과로 GI에 대한 다항식 시간 알고리즘이 있다고 생각할 수 있습니다. 많은 전문가들은 합니다.$NP \not\subseteq QP = DTIME(n^{poly\log n})$

우리가 준 다항식 시간 알고리즘을 알고있는 몇 가지 문제가 있지만 다항식 시간 알고리즘은 알려져 있지 않습니다. 이러한 문제는 근사 알고리즘에서 발생합니다. 유명한 예는 지향성 슈타이너 트리 문제로, $O(\log^3 n)$ 의 근사 비율 ( $n$ 은 꼭짓점의 개수 )을 달성하는 준 다항식 시간 근사 알고리즘이 있습니다. 그러나, 이러한 다항식 시간 알고리즘의 존재를 보여주는 것은 열린 문제입니다.

내 질문:

$QP$ 에는 있지만 $P$ 에는없는 자연적인 문제를 알고 있습니까?

사실, 계산 문제에 대해 준 다항식 실행 시간을 하한선으로 제시하는 최근의 많은 연구가 있었는데, 대부분 지수 시간 가설에 기초하고 있습니다. 다음은 내가 자연스럽게 생각하는 문제에 대한 결과입니다.

• Aaronson, Impagliazzo 및 Moshkovitz [1]는 조밀 한 제약 만족 문제 (CSP)에 대한 준 다항식 시간 하한을 보여줍니다. 이 논문에서 CSP가 정의되는 방식은 도메인이 작은 경우에는 PTAS를 갖는 것으로 알려져 있기 때문에 도메인이 다 항적으로 커질 수 있도록한다.

• Braverman, Ko 및 Weinstein [2] 은 Lipton 등의 알고리즘과 일치하는 -best 근사 내쉬 평형 을 찾기위한 준 다항식 시간 하한을 증명합니다 [3].$\epsilon$$\epsilon$

• Braverman 코, 루빈스타인 및 웨인 스테인 [4] 준 다항식 시간 밀집한 근사 하한 표시 즉 포함한 그래프 주어진 (완벽 완전성과 -subgraph을 , -clique는 크기의 서브 그래프 발견 이다 일부 작은 상수 대해 밀도가 높습니다 ). 다시 말하지만, 문제에 대한 준 다항식 시간 알고리즘이 있습니다 (Feige and Seltser [5]).k k ( 1 − ϵ ) $k$$k$$k$$(1 - \epsilon)$$\epsilon$

참고 문헌

1. 여러 멀린과 AM. CCC (Computational Complexity)에서 2014 IEEE 29th Conference on, 44-55 페이지, 2014 년 6 월.

2. Mark Braverman, Young Kun Ko 및 Omri Weinstein. -time 에서 최상의 내쉬 평형을 근사하면 지수 시간 가설이 깨집니다. 이산 알고리즘에 관한 24 연례 ACM-SIAM 심포지엄 진행, SODA '15, 970–982 페이지. SIAM, 2015.$n^{o(log n)}$

3. Richard J. Lipton, Evangelos Markakis 및 Aranyak Mehta. 간단한 전략을 사용하여 큰 게임을 즐기십시오. 전자 상거래에 관한 제 4 차 ACM 회의, EC '03, 36–41 페이지, 뉴욕, 뉴욕, 미국, 2003 년.

4. Mark Braverman, Young Kun-Ko, Aviad Rubinstein 및 Omri Weinstein. Densest-에 대한 ETH 경도 완벽한 완성도와 -Subgraph. 전산 복잡성에 관한 전자 콜로키움 (ECCC), 22:74, 2015.$k$

5. U. Feige와 M. Seltser. 가장 밀도가 낮은 하위 문제에서 기술 보고서, 1997.$k$

Megiddo와 Vishkin 은 토너먼트에서 설정된 최소 지배력이 임을 증명했습니다 . 그들은 토너먼트 지배 세트가 P-time 알고리즘을 가지고 있음을 보여 주었고 SAT는 subexponential time algorithm을 가졌다. 따라서 ETH가 거짓이 아닌 한 토너먼트 지배 세트 문제는 될 수 없습니다 .$QP$$P$

이 지수 시간 가설이 동시에 다항식 시간 알고리즘을 가질 수없는 토너먼트 지배 세트를 의미하고 있습니다 매우 흥미 롭다 수 없습니다 - 완전한$NP$ . 즉, ETH는 토너먼트 지배 세트가 중간 에 있음을 의미합니다 .$NP$

Woeginger을 감안할 때 : 다항식 시간 알고리즘이없는 아마 준 다항식 시간에 후보 문제 풀수을 제안하고 정수, 당신이 선택할 수 있습니다 을 추가 그들을 ?로그 n $n$$\log n$$0$

VC 차원 계산은 다항식 시간이 아닌 것처럼 보이지만 준 다항식 시간 알고리즘이 있습니다.

또한 무작위 그래프에서 크기 의 심은 파편을 감지하기는 어렵지만 준 폴리 노미 얼 시간에서 찾을 수 있습니다. 이 약속 문제의 본질은 언급 된 다른 것들과는 다소 다릅니다.$O(\log n)$

지수 시간 가설이 정확하거나 더 약한 버전 인 경우, 다항식 시간에 폴리 글 로그 수의 변수가있는 경우 3SAT를 풀 수 없습니다. 물론 준 다항식 시간은 그러한 사례를 쉽게 해결할 수 있습니다.

우리는 시간의 수업 시간에 문제가있을 수해야한다는 것을 알고 있지만 에없는 어떤을 위해, ,이 유용한 자연의 문제는 (이 복잡성의 표준 결과이다 아니다 ). 어쨌든 QP에는 있지만 P에는없는 문제를 찾는 것이 큰 결과 일 것입니다. 우리는 현재 일반적인 RAM 모델에서 2 차 시간 이상을 필요로하는 NP의 자연적인 문제조차 알지 못합니다. 하한은 정말 정말 어렵 기 때문입니다. 따라서 ETH에 대한 의지, 독특한 게임 추측,기도 및 문제가 NP-Complete임을 증명합니다.T ( N ) T ( N $T(n ) * \log n$$T(n)$$T(n)$

패리티 게임 해결은 최근 QP에있는 것으로 나타났습니다 : https://www.comp.nus.edu.sg/~sanjay/paritygame.pdf

패리티 게임은 LTL 합성 및 -calculus satisfiabiability 와 같은 많은 공식 검증 컨텍스트에서 자연스럽게 발생 합니다.$\mu$

패리티 게임은 , 심지어 에있는 것으로 알려져 있습니다 . 또한 지난 20 년 동안 결정 론적 알고리즘 지수가 반복적으로 개선되었습니다 (조사에 대한 위의 링크 소개 참조).$NP\cap coNP$$UP\cap coUP$

그러나, 최근의 논문은 QP로 크게 도약했습니다. 이 게임이 P에 있는지 여부는 여전히 알 수 없습니다.

에서 고전 알고리즘, 상관 붕괴 및 양자 많은 신체 시스템의 파티션 기능의 복합 제로 아람 해로우, 사이드 Mehraban 및 메디 Soleimanifar로

열상 전 이점 이상의 온도에서 양자 다 물체 시스템의 분할 함수를 추정하는 준 다항식 시간 고전 알고리즘

제시된다.

여기서 "다항식 시간이 아님"부분에 대해서는 말할 것도 없습니다. 이전 작업의 역사를 감안할 때 다항식 시간 알고리즘이 나중에 발견 될 수도 있습니다. 아래를 참조하십시오.

"분할 함수 추정"은 근사 알고리즘과 어떤 관련이 있습니까? 이전 작품 (p. 11) :

최근이 작업의 기초가되는 파티션 기능 추정에 대한 개념적으로 다른 접근 방식이 있습니다. 이 방법은 파티션 함수를 고차원 다항식으로보고 잘린 Taylor 확장을 사용하여 계산이 쉬운 지점에서 솔루션을 사소한 매개 변수로 확장합니다. [Bar16a]가 도입 된 이후이 방법은 경계 그래프의 강자성 및 반 강자성 Ising 모델 [LSS19b, PR18]과 같은 다양한 흥미로운 문제에 대한 결정 론적 알고리즘을 얻는 데 사용되었습니다.

포함

[LSS19b] Jingcheng Liu, Alistair Sinclair 및 Piyush Srivastava. Ising partition 함수 : 0과 결정적 근사치. 통계 물리학 저널, 174 (2) : 287–315, 2019. arXiv : 1704.06493

관련 작업에 대한 tis 섹션에서 다음을 언급합니다.

병렬 작업 라인에서 Barvinok은 분할 함수의 로그에 대한 Taylor 근사에 대한 연구를 시작하여 다양한 계수 문제에 대한 준다 항 시간 근사 알고리즘을 이끌어 냈습니다 [6, 7, 9, 10]. 더 최근에 Patel and Regts [41]는 유도 된 서브 그래프 합계로 쓰여질 수있는 여러 모델에 대해 실제로이 접근법으로부터 FPTAS를 얻을 수 있음을 보여 주었다.

V. Patel 및 G. Regts. 분할 함수 및 그래프 다항식에 대한 결정 성 다항식 시간 근사 알고리즘. SIAM J. Comput., 46 (6) : 1893–1919, 2017 년 12 월. arXiv : 1607.01167

결론적으로, "분할 함수 추정"은 근사 알고리즘과 밀접한 관련이 있으며, 다양한 카운팅 문제에 대한 준다 항 시간 근사 알고리즘이 있으며, 이들 중 일부는 FPTAS를 획득했다. 따라서 전반적으로 분할 함수와 관련된 이러한 문제 클래스는 준 다항식 시간 근사 알고리즘을 생성하는 것처럼 보이지만 나중에 개선으로 다항식 시간을 얻습니다.