평면 그래프의 트리 분해

답장하지 않고 math.SE 에 처음으로 물었습니다 .

1. 평면형 임베드가있는 평면형 그래프가 있는데 트리 분해를 어떻게 찾을 수 있습니까?
2. 최적의 트리 분해는 무엇입니까 $d$-으로-$d$사각형 격자? "최적"을 정의하는 방법을 완전히 알지 못하지만 하나의 큰 백으로 분해하고 많은 큰 백으로 분해하는 것을 구분해야합니다.

당신이 정말로 원하는 것이 좋은 제거 순서라면, 당신은 일반화 된 중첩 해부를 찾고있을 것 입니다. 이것은 평면 그래프의 좋은 구분 기호를 활용하여 제공하는 전략입니다.$O(n^{\omega/2})$ 평면 그래프에서 나오는 행렬에 대한 가우시안 제거, 결정자 등에 대한 알고리즘.

첫 번째 질문의 경우, 평면 그래프의 트리 분해를 찾는 것이 다항식 시간으로 이루어질 수 있는지 여부 는 열려 있습니다. 최상의 근사화 알고리즘은 Seymour와 Thomas 의 RatCatcher 알고리즘 일 수 있는데, 이는 평면 그래프 의 분기 폭 을 계산하므로 분기 폭과 트리 폭 사이의 관계에 의해 1.5 근사화 비율을 갖습니다.

두 번째로, 우리는 트리 폭에 대한 다음 정리를 갖습니다. $k \times k$ 그리드 :

정리. ㅏ$k \times k$ 격자는 나무 폭을 가짐 $k$.

그리고 부대는 크기로 가지고 갈 수 있습니다 $k+1$총계 $k(k-1)$바지. 이것이 원하는지 확실하지 않으므로 "최적"의 정의를 수정하면 자유롭게 수행하십시오.

최적의 트리 분해를 원하지 않으면 구분 기호를 재귀 적으로 계산하여 트리 분해를 구축 할 수 있습니다.