Karger의 알고리즘을 사용하지 않은 그래프의 mincut 수

우리는 Karger의 mincut 알고리즘을 사용하여 그래프가 가질 수있는 최대 mincut 수는 임을 증명할 수 있습니다 (비 구조적인 방식으로) $n \choose 2$.

나는 우리가 어떤 식으로 깎아 낸 세트에서 다른 카디널리티 n \ choose 2에 대한 형용사 (대신 인젝 티브) 증거를 제공 함으로써이 정체성을 어떻게 증명할 수 있는지 궁금합니다 $n \choose 2$. 특별한 이유는없고 호기심입니다. 나는 그것을 스스로 시도했지만 지금까지 성공하지 못했습니다. 나는 누군가 이것에 대해 시간을 낭비하지 않기를 원하기 때문에 질문이 무의미 해 보인다면 중재자에게 그에 따라 조치를 취하도록 요청할 것입니다.

최고 -Akash

$\binom{n}{2}$ 내가 원래 "그래프의 모든 최소 인하 시스템에 대한 구조"에, 1976 년 Dinitz, Karzanov 및 로모 노 소프에 의해 입증되었다 생각 바인딩. 이 백서에서 원하는 내용을 찾을 수 있지만 온라인 상태인지 잘 모르겠습니다.

비공식적으로, 최대 최소 컷 수를 가지려면 그래프의 모든 노드의 각도가 같아야한다고 주장 할 수 있습니다.

잘라 나누기를 그래프하자 두 개의 노드의 세트로 와 되도록 . 그래프에서 최소 컷 수를 로 표시하십시오 .$G$$C$$\bar C$$C \cap \bar C=\emptyset$$mc(G)$

각 꼭짓점이 차수가 2 인 개의 꼭짓점이 있는 연결된 그래프를 고려하십시오 . 사이클 그래프 여야하며 최소 컷은 두 모서리입니다. 두 모서리를 절단하면 절단이 발생하고 이러한 절단이 최소 절단임을 알 수 있습니다. 이 때문에 에지의 서로 쌍있다 최소 삭감.$n$$n(n-1)/2$$n(n-1)/2$

사이클 그래프에서 가장자리를 제거하여 새 그래프를 만듭니다. 새로운 그래프의 최소 절단은 하나의 모서리이며 임의의 모서리를 절단하면 충분합니다. 그러한 절단이 가능합니다.$n-1$

사이클 그래프에 가장자리를 추가하여 새 그래프를 만듭니다. 이제 두 노드에는 차수가 3이고 노드에는 차수가 2입니다. 차수 3 노드는 모두 또는 속해야합니다 . 사이클 그래프의 경우 노드가 또는 함께 표시되도록 제한되지 않았습니다 . 가장자리를 추가하면 구속 조건이 추가되어 최소 절단 횟수가 줄어 듭니다.$n-2$$C$$\bar C$$C$$\bar C$

더 많은 노드를 3도 수준으로 올리면 2 도의 최소 컷이 하나만있는 지점까지 추가 제약 조건이 추가됩니다.

전술 한 것은 사이클 그래프가 (적어도) 로컬 최대 값 인 임을 나타낸다 .$mc$

모든 노드가 3 도인 그래프 세트를 고려하십시오. 모서리를 제거하면 단일 최소 컷이 2 인 그래프가 생성됩니다. 위와 같이 모서리를 추가하면 컷의 같은면에 가장 많이 나타나는 두 개의 노드가 생성됩니다.

이것은 모든 노드가 도인 그래프 가 로컬 최대 값 임을 나타 냅니다. 전체 그래프에 크기의 컷 이 있음을 알면 이것이 감소 함수임을 나타냅니다.$k$$mc$$mc=n$$n-1$

위의 공식화가 가능한지 여부에 대해 많은 생각을하지 않았지만 가능한 접근법을 나타냅니다.

또한 Bixby 논문 Jelani Nelson 은 그의 답변 에 대한 주석에서 "가장자리 연결 n 및 M n- 본드가있는 그래프의 가장자리 및 꼭지점의 최소 수"( 링크 ) 라고 언급했습니다.