푸리에 계수 AND OR 및 XOR 게이트가있는 경계 깊이 회로로 설명되는 부울 함수

하자 부울 기능하고 이제부터 함수로 f를 생각하자 에 . 이 언어에서 f의 푸리에 확장은 단순히 사각형이없는 단항의 관점에서 f의 확장입니다. (이 모노 미알은 에 대한 실제 함수의 공간을 기초로합니다 . 계수의 제곱의 합은 단순히 이므로 는 제곱 자유 모수에 대한 확률 분포로 이어집니다. 이 분포를 F- 분포라고합니다.$f$$\{-1,1\}^n$$\{ -1,1 \}$$2^n$$\{-1,1\}^n$$1$$f$

f가 다항식 크기의 경계 깊이 회로에 의해 설명 될 수 있다면 Linial, Mansour 및 Nisan의 정리에 의해 F 분포는 거의 기하 급수적으로 작은 크기의 에 집중된다는 것을 알고 있습니다. 이것은 Hastad 스위칭 보조 정리에서 파생됩니다. (직접적인 증거가 가장 바람직합니다.)$\text{polylog } n$

모드 2 게이트를 추가하면 어떻게됩니까? 고려해야 할 한 가지 예 는 첫 번째 n 변수와 마지막 n 변수의 mod 2 내부 곱으로 설명되는 변수 의 함수 입니다 . 여기서 F- 분포는 균일합니다.$IP_{2n}$$2n$

질문 : Boolean 함수의 F- 분포가 경계 깊이 다항식 크기 ​​AND, OR, MOD 회로에 의해 "레벨"에 집중되어 있습니까?$_2$$o(n)$

비고 :

1. 반대의 예에 대한 한 가지 가능한 경로는 여러 가지 분리 된 변수 집합에 대한 다양한 IP 를 어떻게 든 붙일 수 있지만 어떻게 . 아마도 질문을 약화시키고 변수에 가중치를 부여 할 수는 있지만 명확한 방법을 찾지 못했습니다. (따라서이 두 가지 문제를 언급하는 것도 내가 요구하는 것의 일부입니다.)$_2k$

2. mod 게이트 를 허용하면 질문에 대한 긍정적 인 대답 (또는 성공적인 변형)이 적용될 것이라고 추측합니다 . (그래서 질문은 Ryan Williams의 최근 인상적인 ACC 결과에 의해 유발되었습니다.) $_k$

3. MAJORITY의 경우 F- 분포는 모든 "수준"에 대해 큰 (1 / 폴리)입니다.

Luca에서 알 수 있듯이, 내가 묻는 질문에 대한 대답은 "아니오"입니다. 남아있는 질문은 AND OR로 설명 될 수있는 부울 함수의 F 분포와 MAJORITY가 공유하지 않는 mod 2 게이트의 속성을 찾는 방법을 제안하는 것입니다.

MONOTONE 기능에 대해 이야기하여 질문을 저장하려는 시도 :

질문 : MONOTONE 부울 함수의 F- 분포는 "레벨" 에 경계 깊이 다항식 크기 ​​AND, OR, MOD 회로 집중 (초 다수 적으로 작은 오류까지)으로 설명됩니까?$_2$$o(n)$

우리는 심지어 을 대체 할 수 있다고 추측 할 수 강력한 버전에 대한 반례가 흥미로울 수 있습니다. $o(n)$$\text{polylog} (n)$

길, 이것과 같은 것이 반례입니까?

하자 되도록 수 N = m + 로그 m 및 생각 n 개의 쌍로서 비트 입력 ( X , I ) 여기서, X는 m 행의 비트 열이다 ( X 1 , ... , X의 m은 ) 과 전 이고 1 , … , m 범위의 정수는 이진수로 기록됩니다.$m$$n=m+\log m$$n$$(x,i)$$x$$(x_1,\ldots ,x_m)$$i$$1,\ldots,m$

$f(x,i):= x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$

$i=1,\ldots,m$$1/m$$x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$$1/m^2$

f ()는 깊이 3에서 실현 될 수 있습니다. 모든 XOR을 한 레이어에 넣은 다음 AND, OR 및 NOT의 두 레이어에서 "선택"을 수행합니다 (평소와 같이 NOT을 깊이에 추가하는 것으로 계산하지 않음).