공리로 CIC를 확장하면 부정적인 결과는 무엇입니까?

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공리를 CIC에 추가하는 것이 정의와 정리의 계산 내용에 부정적인 영향을 줄 수 있다는 것이 사실입니까? 나는 경우 이론의 정상적인 동작에서, 닫힌 용어는 예를 들어 자사의 표준 정상적인 형태로 줄일 수, 그 이해 사실, 다음 형식의 용어로 줄여야합니다 . 그러나 공리를 가정 할 때-함수 확장 성 공리 -시스템에 새로운 상수를 추가하십시오. $n : \mathbb{N}$ $n$ $(succ ... (succ (0)))$ funext

f u n e x t : Π_{x : A} f (x) = g (x) \to f = g

$funext : \Pi_{x : A} f (x) = g (x) \to f = g$

그것은 단지 "마 법적으로"는 증거로부터 의 증거를 생성 할 것입니다 는 계산상의 의미가 전혀 없습니다. ) $f = g$ $\Pi_{x : A} f (x) = g (x)$

그러나 이것이 왜 "나쁜"입니까?

에 대해 funext, 나는이 coq 항목 과이 mathoverflow 질문 에서 시스템 이 캐논 성 을 느슨하게하거나 결정 가능한 검사를하게 할 것이라고 읽었 습니다. coq 항목은 좋은 예를 제시하는 것으로 보이지만 여전히 그것에 대한 추가 참조를 원합니다. 어쨌든 찾을 수 없습니다.

공리를 추가하면 CIC의 행동이 어떻게 악화 될 수 있습니까? 실질적인 예가 좋을 것입니다. (예를 들어, Univalence Axiom?)이 질문이 너무 부드럽지만 누군가 그 문제에 대해 약간의 정보를 밝히거나 참고할 수 있다면 좋을 것입니다!

추신 : coq 항목은 "Thierry Coquand는 이미 90 년대 중반의 강렬한 가정에서의 패턴 매칭이 확장 성과 일치하지 않는 것을 관찰했습니다."라고 언급했습니다. 누구가 어떤 종이나 무언가를 알고 있습니까?

— 학생 유형
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공리를 거부하는 첫 번째 이유는 일관성이 없기 때문입니다. 일관성이 입증 된 공리조차도 그들 중 일부는 전산 해석 (우리는 그것들을위한 축소 원리로 정의 평등을 확장하는 방법을 알고 있음)을 가지고 있으며, 일부는 그렇지 않습니다. 이것은 다른 이유로 "나쁜"것입니다 :

이론적으로, 캐논 성은 특정 모델로 갈 필요없이 언어의 가치에 대한 것을 증명할 수 있습니다. 이것은 시스템에 대해 생각하기에 매우 만족스러운 재산입니다. 특히 실제 세계에 대한 주장을 뒷받침합니다. nat우리는 폐쇄 된 정상 거주자가 실제로 자연수라는 것을 증명할 수 있기 때문에 시스템에서 형식을 실제 "자연수"로 생각할 수 있습니다. 그렇지 않으면 시스템에서 무언가를 올바르게 모델링했지만 실제로 다른 객체로 작업하고 있다고 생각 하기 쉽습니다 .
실제로 축소는 증거를 쉽게 만들 수 있기 때문에 종속 유형 이론의 주요 자산입니다. 제안 용어 평등을 증명하는 것은 임의로 어려울 수 있지만, 증명 용어가 사소한 것이므로 정의 평등을 증명하는 것은 (가능하지는 않지만) 훨씬 쉽습니다. 보다 일반적으로 계산은 교정 보조 사용자 경험의 핵심 측면이며 예상대로 올바르게 축소되도록 정의하는 것이 일반적입니다. (계산을 어렵게하기 위해 공리가 필요하지 않습니다. 예를 들어, 제안 평등에 대한 변환 원칙을 사용하면 이미 축소를 차단할 수 있습니다). 성찰에 의한 증거 사업 전체증명을 돕기 위해 계산을 사용합니다. 이는 다른 논리 기반 교정 보조자 (예 : 평등 추론 만 지원하는 HOL-light 또는 다른 접근 방법에 대해서는 좀비 참조 ) 및 확인되지 않은 공리 또는 기타 프로그래밍 스타일 사용 과 관련하여 성능과 편의성의 주요 차이점입니다. 이 안락 지대에서 벗어날 수 있습니다.

— Gasche
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+1 답변 주셔서 감사합니다! 계산 해석 (또는 주제에 대한 참조)이있는 공리의 몇 가지 예를 들어 주시겠습니까?

— StudentType

계산 해석이있는 공리의 한 가지 예는 Prop-Irrelevance입니다 : 일부 유형의 가족 (이 정확한 경우, PropCoq 교정 보조 의 종류의 사람들은 순전히 논리적 인 진술에 해당합니다; Prop-Irrelevance는 이러한 진술에 대한 증거의 내부 구조를 무시하는 것은 동일합니다. 대부분 더 이상 신경 쓰지 않아도 될 수 있습니다. 계산에 영향을 줄 필요는 없지만 시스템이 일관성을 유지하지 않도록 신중하게 수행해야합니다.

— gasche

또 다른 계산적 해석 계열은 고전적 추론과 제어 효과 사이의 대응에서 비롯됩니다. 더 잘 알려진 부분은 제외 된 중간에 연속 캡처를 통해 계산 의미론을 부여 할 수 있지만 세밀한 논리적 원칙 (예 : Markov 's Principle ) 을 제공하는 제한된 제어 형식 (양수 유형의 예외 )이 있습니다. Hugo Herbelin의 2010 년 Markov의 원리를 증명하는 직관적 인 논리를

— 보라

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일부 공리로 정리 증명자를 확장하는 것이 문제를 일으킬 수있는 이유를 이해하려면 양성이 언제인지를 아는 것도 흥미 롭습니다. 두 가지 경우를 염두에두고 두 가지 모두 가정의 계산 동작에 신경 쓰지 않는다는 사실과 관련이 있습니다.

관측 유형 이론에서, Prop캐논 성 을 잃지 않으면 서 어떤 일관된 증거를 가정 할 수 있습니다 . 실제로 모든 증명은 동일한 것으로 간주되며 시스템은 용어를 완전히 거부함으로써이를 시행합니다. 결과적으로 증거가 직접 작성되었거나 단순히 가정되었다는 사실은 아무런 영향을 미치지 않습니다. 전형적인 예는 "결합"의 증거가 될 것입니다 : 우리는 증거가있는 경우 eq그 A = B : Type다음 어떤을위한 t유형 A, 단순히 평등의 증거를 따라 용어를 전송합니다.t == coerce A B eq tcoerce
MLTT에서, 캐논 성의 손실없이 부정적 일관된 공리를 가정 할 수 있습니다 . 이것의 직관은 부정적인 공리 (형태의 축 A -> False)가 관련없는 가지를 해산하는 데만 사용된다는 것입니다. 공리가 일관된 경우, 실제로 관련이 없으며 용어를 평가할 때 절대 사용되지 않는 가지에서만 사용할 수 있습니다.

— 갈레
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심하게 행동하는 공리의 실례는 무엇입니까?

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Coquand 논문은 [1] 일 수 있으며 패턴 일치로 확장 된 종속 ITT (Martin-Löf의 직관적 유형 이론)를 통해 UIP ( 신원 증명 고유성) 를 증명할 수 있습니다 . 나중에 Streicher와 Hoffmann [2]은 ITP를 위조하는 ITT 모델을 제시한다. 따라서 패턴 일치는 ITT의 보수적 인 확장이 아닙니다.

T. Coquand, 종속 유형과 패턴 일치 .
M. Hofmann, T. Streicher, 유형 이론의 그룹 해석 .

— 마틴 버거
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