대칭 다항식 평가

하자 될 대칭 다항식 , 즉, 다항식되도록 F ( X ) = F ( σ ( X ) ) 모두를위한 X ∈ K N 모든 순열 σ ∈ S N . 편의상 계산 모델의 문제 해결을 피하기 위해 K 를 유한 필드 라고 가정 할 수 있습니다 .$f:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}$$f(x)=f(\sigma(x))$$x \in \mathbb{K}^n$$\sigma \in S_n$$\mathbb{K}$

하자 계산의 복잡성 나타낸다 F , 즉, 알고리즘의 복잡성은 주어진 X , 반품 F ( X를 ) . 우리는 어떻게 든 특성을 수 C ( F를 ) 의 특성에 따라, F ? 예를 들어, 우리는 보장된다 C ( f는 ) (에 다항식 N 모든 대칭 다항식에 대한) F ?$C(f)$$f$$x$$f(x)$$C(f)$$f$$C(f)$$n$$f$

특별한 경우로서, (a) 시간 폴리 ( n ) 의 거듭 제곱 다항식 을 계산할 수 있고 (b) 뉴턴의 아이덴티티를 사용하여 시간 폴리 ( n ) 의 기본 대칭 다항식 을 계산할 수 있습니다 . 결과적으로, 만일 F는 어떤 변수보다 높은 전력으로 상승되지 monomials의 가중 합은 1 (경우 즉, f는 multilinear이다)하고 F는 이 가중 합으로 표현 될 수 있기 때문에 (다항식 시간 내에 계산 될 수있다 기본 대칭 다항식). 예를 들어 K = G F ($\text{poly}(n)$$\text{poly}(n)$$f$$f$$f$ 다음, 모든 대칭 다항식 다항식 시간 내에 계산 될 수있다. 이것보다 더 말할 수 있습니까?$\mathbb{K}=GF(2)$

이 질문은 끝이났다. 또는 유한 필드에 대해 가능한 대칭 다항식의 시간 복잡성을 정확하게 특성화하고 싶습니까?

어쨌든 적어도 내 지식으로는 대칭 다항식 계산의 시간 복잡성에 대해 잘 알려진 몇 가지 결과가 있습니다.

1. 경우 다음 다항식 크기 균일하여 계산 될 수있는 유한 필드 위에 초 대칭 다항식 T C 0 회로.$f$$TC^0$

2. 경우 특성 위에 초 대칭 다항식 0 필드는 다음 다항식 크기의 깊이에 의해 계산 될 수있는 세 균일 대수 회로 (이미 다항식 뉴턴 바와 같이 또는하여 라그랑주 보간 수식); 그래서 이것이 다항식 크기의 균일 한 부울 회로로 변환된다고 생각합니다 (물론 일정한 깊이는 아니지만). 이것은 작업중 인 특정 필드에 따라 다를 수 있습니다. 간단 성을 위해 정수의 고리를 고려할 수 있습니다. 정수 I 추정 T C 0는 어떤 경우에 대칭 다항식을 계산하기에 충분하다.)$f$$0$$TC^0$

3. 경우 유한 필드 위에 대칭 다항식은 다음이 깊이에 세 대수 회로 하한 지수가 F ([Grigoriev 및 Karpinsky 1,998 다음] Grigoriev 및 Razborov (2000)). 그러나, 전술 한 바와 같이에, 단지 일정한 깊이 부울 회로 하한이 대응 (하면서 거기 에 작은 균일 부울 회로 T C 0 ] 다항식 다항식 타임 계산 가능한 것을 또한 의미한다). $f$$f$$TC^0$

아마도 대칭 다항식의 시간 복잡성에 대한 더 알려진 결과가 있습니다 ...