하느님의 수에 대한 대화 형 증거?

나는 최근에 대화 형 증명에 대해 배웠으며 모든 것이 이론적 인 호기심에 불과하거나 실제 적용이 있는지 궁금합니다. 나는 샤워에서 나에게 일어난 예제로 시작하겠다고 생각했다.

최근에 "하나님의 수"가 20이라는 뉴스가 나왔습니다. (하나님의 수는 루빅스 큐브를 해결하는 데 필요한 최소 단계 수입니다). 이것은 꽤 흥미롭지 만 약간의 왜곡이있는 것 같습니다 ... 이것은 교과서에서 "정상적인"증거가 아니며, 다항식 시간 검증 가능한 의미는 아닙니다. 이 증거는 분명히 "브 루트 포스"의 풍미를 지니고 있습니다. 즉, Morley 박사의 연구실 사람들은 Google의 거대한 슈퍼 컴퓨터에서 수십억과 수십억 개의 큐브 조합을 사용하여이 깔끔하고 단단한 하한을 찾았습니다.

어쨌든 문제는 : Morley Davidson 박사와 그의 팀이 정직하다는 것을 어떻게 확신 할 수 있습니까? 글쎄, 수학적으로 엄격하지 않기 때문에 당장의 권위에서 논쟁을 던질 수 있습니다. 명백한 대안은 소스 코드를 확인하고 전체를 다시 실행하여 증거를 다시 확인하는 것입니다.이 계산 소스는 끔찍한 계산 자원 낭비로 보입니다. 진정한 회의론자에게는 매우 지루하고 불쾌한 제안입니다. 그래서 이것은 일종의 존재 론적 딜레마 인 것 같습니다.

제가 믿는 것은 이것이 바로 대화식 증거 가 필요한 상황입니다 입니다. 구글의 슈퍼 컴퓨터는 강력하지만기만적인 증거가 될 수 있으며, 대중의 항문 구성원이 Polynomially로 한정된 검증 자 일지라도 회의론자입니다. 우리가 어떻게 든 "Oracle"에 다항식 횟수를 문의 할 수 있고이 하한을 확신 할 수 있다면, 모든 합리적인 의심을 넘어서 그가 옳다는 사실을 확신 할 수 있습니다.

따라서 "하나님의 수가 20보다 "는 결정 문제가 Π p 2에 있거나 다음과 같이 (비공식적으로) 재조정 될 수있는 것 같습니다.$\Pi_2^p$

Rubik 's Cube의 모든 시작 조합 에 대해 <= 20 단계를 취하는 솔루션이 있으며 β는 이를 해결합니다.$\alpha$$\beta$

(정확한지 확실하지 않지만 및 $\alpha$$\beta$ 시작 구성과 솔루션을 고려할 때 는 모두 크기가 작습니다. 큐브가 실제로 큐브를 해결하는지 쉽게 확인할 수 있습니다)

결정 문제 "하나님의 숫자는 20입니다"는

신의 수는 <20 이고 20 단계를 거치는 루빅스 큐브의 시작 조합에 대한 솔루션이 있습니다.

따라서 이것에 대한 IP [n] 증거가있을 것입니다. (다시 한번, 내 작업을 확인하십시오)

내 질문은 두 가지입니다

1. 이 작업을 수행하는 실제 방법이 있습니까?
2. 대화 형 증명의 "실제"사용에 대한 다른 예는 무엇입니까?

... "하나님의 수가 20보다 작다 "는 결정 문제는 .$\Pi_2^p$

대화식 증명을하기에 충분합니다. 실제로, Lund et al. 다항식 계층 구조 (PH)의 모든 언어는 Toda 정리 ( ) 를 사용하여 대화식 증거를 갖습니다 . 그들은 L ∈ P H를 줄였다$\rm{PH} \subseteq P^{\#P}$$L\in \rm{PH}$ # P의 완성 언어 PERMANENT에, 대화식 PERMANENT을 증명하는 데 사용될 수 대수적 방법을 제공했다. (정확하지 않은 정보입니다. 자세한 내용은 논문을 참조하십시오.)

Shamir는 그들의 기술을 사용하여 IP = PSPACE .

이전에 모든 IP에 무 지식 증명이 있음이 입증 되었으므로

PSPACE의 모든 언어에는 지식이없는 대화식 증명이 있습니다.

한다고 판단 $20$ 루빅 큐브 그룹의 직경 (신의 횟수)는 $G$ 반 회전 Singmaster 발생 세트 메트릭 아래 $s=\langle U, U', U^2, D, D', D^2,\cdots\rangle$ 훌륭한 하였다 결과. 나는 그런 많은 반 회전 왜곡이 방법을 결정하는 등의 후속 질문에 대해 궁금 $m$ 는 완전히 "혼합"큐브를 얻을하는 데 걸리는 $\epsilon$ 균일 고정 분배에 - 닫기 $\pi$ .

I가되도록 혼합 발휘한다고 생각되는 컷오프 상기 위해 $n\lt m$ , 일부 구성에 대한 반면, 다른 것보다 훨씬 더 가능성이 $n\ge m$ 큐브를 거의 완전하게 균일 분포에 스크램블링되지 $\pi$ , 더 큰 서브 세트 ⊂ G 의 구성이 바람직하지 않습니다. 그러한 컷오프를 나타내는 혼합의 중심에는 약속이있을 수 있습니다. 이 약속은 Arthur-Merlin A M 을 만드는 데 활용 될 수 있습니다$A\subset G$ $\mathsf{AM}$ 프로토콜 .

예를 들어, $\vert s \vert=18$ 이고 $m$ 을 검증 할 혼합 시간이라고 부르면 다음과 같이 약속 할 수 있습니다.

• 만약 $n\ge m$ 제외한 모든 극소수위한 그리고, $\epsilon$ 원소, $g\in G$ 매우 가까이에있다 $\frac{18^n}{\vert G \vert}$길이≤n인s에서 단어로$g$를 쓰는 방법$s$$\le n$

• $n \lt m$ 인 경우 훨씬 큰 숫자가 있습니다. $k=\vert A\vert$요소의 $g\in G$ 여기서 $g$ 기껏에 기록 될 수있다 $\frac{18^n}{2 \vert G \vert}$길이의 단어와 같은 방법$\le n$.

여기에 내가 생각 $\epsilon$ , 말, 같은 $\frac{1}{10^9}\vert G\vert$그리고$k$는1이라고 말합니다.$\frac{1}{10}\vert G\vert$.

표준 범용 해싱 트릭은 혼합 시간이 $n$ 이상이라는 단일 라운드 Arthur-Merlin 증명을 만듭니다 .

1. Arthur는 무작위 요소 $g\in G$ 선택합니다 . 무작위 해시 $h$ 는 $G$ 단어를 18 n 크기의 세트에 매핑합니다.$\frac{18^n}{\vert G \vert}$및 임의의 화상$y$의$h$
2. 멀린은 아서에게 큐브의 시작 위치에 적용될 때 g 와 같은 길이 n 까지 의 단어 $W$ 를 말한다$n$$g$
3. 워드 $W$ 또한 만족해야 $h(W)=y$ - 가능성이 있다는 것을 나타내는 많은 길이의 단어 $\le n$ 이 동일 $g$
4. Arthur와 Merlin은 필요에 따라 증폭을 반복합니다.

내가 생각하는 그룹의 경우, 믹싱 시간은 최소한 지름 (하나님의 수)이기 때문에 이것은 하나님의 큰 그룹의 수를 묶는 Arthur-Merlin 증거를 제공합니다 .