기초 대칭 다항식의 모노톤 산술 회로의 복잡성?

$k$ 번째 기본 대칭 다항식 $S_k^n(x_1,\ldots,x_n)$ 모두의 합 의 제품 구별 변수. 이 다항식 의 모노톤 산술 회로 복잡성에 관심이 있습니다. 간단한 동적 프로그래밍 알고리즘 (아래 그림 1)은 게이트 가있는 회로를 제공합니다 . $\binom{n}{k}$ $k$ $(+,\times)$ $(+,\times)$ $O(kn)$

질문 : 하한이 알려져 있습니까? $\Omega(kn)$

회로는 스큐 각 제품 게이트의 두 입력들 중 적어도 하나가 가변 인 경우. 이러한 회로는 실제로 스위칭 및 정류 네트워크와 동일합니다 (변수로 레이블이 지정된 일부 모서리가있는 방향성 비순환 그래프. 각 st 경로는 해당 레이블의 곱을 제공하며 출력은 모든 st 경로의 합입니다). 이미 40 년 전에 Markov는 놀라 울 정도로 엄격한 결과를 입증했습니다. 의 최소 모노톤 산술 스큐 회로 에는 정확히 제품 게이트가 있습니다. 상부 경계는도 1을 따른다. : $(+,\times)$ $S_k^n$ $k(n-k+1)$

그러나 비 왜곡 회로에 대한 그러한 하한을 증명하려는 시도는 보지 못했습니다. 이것이 우리의 "오만"인가, 아니면 그 과정에서 내재 된 어려움이 있습니까?

추신 : 나는 모든 을 동시에 계산하려면 게이트가 필요 하다는 것을 알고 있습니다. 이것은 0-1 입력을 분류하는 모노톤 부울 회로의 크기에 대한 하한선에 따릅니다. Ingo Wegener의 158 페이지를 참조하십시오 . AKS 정렬 네트워크는 또한 암시 게이트이 (부울) 경우에 충분하다. 사실, Baur와 Strassen 은 대한 비 모노톤 산술 회로 의 크기에 대해 밀접한 을 증명했습니다 . 그러나 모노톤 산술 회로는 어떻습니까? $\Omega(n\log n)$ $S_1^n,\ldots,S_n^n$ $O(n\log n)$ $\Theta(n\log n)$ $S_{n/2}^n$

— 스타 시스
소스

하나의 문제는 당신이 "모노톤"제한을 제거하는 경우, 우리는 것입니다 않습니다 효율적으로 그런 일을 계산하는 방법을 알고있다. FFT 기반 다항식 곱셈을 사용하여 시간 으로 모든 (모든 기본 대칭 다항식 평가) 의 값을 계산할 수 있습니다 . 따라서 모노톤 회로 모델에서 하한을 증명하려면 다항식 곱셈에 하한을 증명해야합니다 . $S_0^n,\dots,S_n^n$ $n+1$ $O(n \log^2 n)$ $\Omega(nk)$ $\Omega(n^2)$

방법은 다음과 같습니다. 공식적인 미지수 소개 하고 다항식을 고려하십시오 $y$

P (y) = \prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i} y) .

$P(y) = \prod_{i=1}^n (1 + x_i y).$

노트는 이후 것을 의 알려진 상수이며, 이것은 미지와 변량 다항식 및 정도 . 지금 당신은 계수주의 할 에서 정확히 모든 평가하기 때문에, , 그것은 계산하기에 충분 . $x_i$ $y$ $n$ $y^k$ $P(y)$ $S_k^n$ $S_0^n,\dots,S_n^n$ $P(y)$

이로써 계산하게 에서의 과 다항식의 균형 잡힌 바이너리 트리를 구축 시간 : 잎에서 s '를하고 번성 다항식. 도 두 다항식 곱 소요 우리가 재발 얻을 수 있도록, FFT 기술을 사용하여 시간 , 어느로 해결할 입니다. 편의상 요소를 무시하고 있습니다. $P(y)$ $O(n \lg^2 n)$ $(1+x_i y)$ $d$ $O(d \lg d)$ $T(n) = 2 T(n/2) + O(n \lg n)$ $T(n) = O(n \lg^2 n)$ $\text{poly}(\lg \lg n)$

당신이 사건에 대해 걱정하는 경우 아주 작은, 당신은 계산할 수 에서 만 걱정하는 것을 염두에두고, 비슷한 트릭을 사용하여 시간 (즉, 모든 조건을 버리고 또는 높은 전력 ). $k$ $S_0^n,\dots,S_k^n$ $O(n \lg^2 k)$ $P(x) \bmod y^{k+1}$ $y^{k+1}$ $y$

물론 FFT는 빼기를 사용하므로 순전히 모노톤 회로에서는 표현할 수 없습니다. 다항식에 모노톤 산술 회로를 효율적으로 곱하는 다른 방법이 있는지 모르겠지만, 다항식 곱셈을위한 효율적인 모노톤 방법은 즉시 문제의 알고리즘으로 이어집니다. 따라서 문제의 하한에는 다항식 곱셈의 하한이 필요합니다.

— DW
소스

DW,이 건설을 기억해 주셔서 감사합니다! 일반적으로 Ben-Or에 기인하며 언급 했어야합니다. 이 구조는 또한 크기 의 <i> 수식 </ i> 과 깊이 (!)을 연산자 ( 일부에서 를 평가하여 으로 계산합니다. 점). 이것은 균일하고 비균질 한 작은 깊이의 공식을 분리하는 데 사용되었습니다. 그러나 언급했듯이 건설에는 실질적으로 빼기가 사용됩니다. 그래서 제 질문은이 사용이 실제로 얼마나 "실질적"입니까? 이것은 제한된 깊이의 시나리오에서도 흥미로울 수 있습니다.

O (n^{2})

$O(n^2)$

3

$3$

S_{0}^{n}, \dots, S_{n}^{n}

$S_0^n,\ldots,S_n^n$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$

— Stasys

@Stasys : 뺄셈이 매우 중요하다고 생각합니다. 즉. 깊이 3 균일 회로 에 대한 Nisan-Wigderson 하한 ; 균일 한 깊이 3 회로에서 요점은 출력의 각도와 다른 각도를 가진 항을 계산하는 데 쓸모가 없다는 것입니다. 따라서 발생할 수있는 취소 종류가 제한됩니다. Ben-Or 구성에서 을 계산 하려면 출력이 차수 경우에도 차수 의 다항식을 계산 한 다음 취소를 사용하여 차수 . 이것은 증거가 아니며, 직관에 불과합니다.

S_{k}^{n}

$S_k^n$

n

$n$

k < n

$k < n$

> k

$> k$

— Joshua Grochow

@Joshua : 그렇습니다. 우리 는 다항식 에서 변수 의 계수가 다항식 라는 것을 알고 있습니다. 그러나 구별 포인트 에서 의 값 에서 이러한 계수를 추출하려면 가우스 (및-빼기)가 필요합니다 . 내 질문은 이 경우 "모노톤 단어"에 실제로 가우스가 없는지 묻습니다 . (추정 된 대답-아니오) 나는 이것을 위해 각도 제거하는 것으로 충분하지 않다 . 이 첫 번째 계수 를 찾아야 합니다 .

y

$y$

P (y, x)

$P(y,x)$

S_{k}^{n} (x)

$S_k^n(x)$

n + 1

$n+1$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$

> k

$> k$

k

$k$

— Stasys