NP- 완전 문제에서 위상 전이는 얼마나 흔합니까?

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많은 NP- 완전 문제는 위상 전이를 나타내는 것으로 잘 알려져 있습니다. 알고리즘과 관련하여 입력의 경도보다는 언어의 포함과 관련하여 위상 전이에 관심이 있습니다.

개념을 모호하지 않게하기 위해 공식적으로 다음과 같이 정의하겠습니다. 언어 은 (격리와 관련하여) 위상 전이를 나타냅니다. $L$

가 순서 파라미터 다항식 계산 가능한 시간, 인스턴스의 실제 값 함수이다. $r(x)$
가 임계 값 . 실제 상수이거나 즉, 입니다. $t$ $n=|x|$ $t=t(n)$
인 거의 모든 에 대해 있습니다. ( 거의 모든 것은 여기에서 거의 모든 것을 의미합니다. 거의 사라지지 않는 것, 즉 비율은 으로 1에 가까워집니다 ). $x$ $r(x)<t$ $x\in L$ $n\rightarrow\infty$
인 거의 모든 에 대해 있습니다. $x$ $r(x)>t$ $x\notin L$
거의 모든 에 대해 합니다. 즉, 과도기 영역은 "좁습니다". $x$ $r(x)\neq t$

많은 자연적인 NP- 완전 문제는 이런 의미에서 상 전이를 나타냅니다. 예는 SAT의 다양한 변형, 모든 모노톤 그래프 속성, 다양한 제약 조건 만족 문제 및 기타 여러 가지입니다.

질문 : "좋은"예외는 무엇입니까? 위와 같은 의미에서 위상 전이 가 없는 자연적인 NP- 완전 문제가 있습니까?

cc.complexity-theory phase-transition

— 안드라스 파라고
소스

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그 쉽게 소음의 작은 비트를 추가하여 우회 할 수있는 당신은 아마, 재구성 조건 5 원하는

이 동일하지 않습니다 보장하기 위해

어떤을 위해

.

을

함수 로 제한 하고

(둘 다 wlog를 수행 할 수 있음)으로 제한하면, 반대의 예는 알고리즘 (하나의 컴퓨팅

)이 신뢰성있게 추측 할 수 없는 NP 완전 문제 일 필요가 있습니다. 균일 분포에서 선택된 인스턴스를 사용합니다. 내 생각 엔 당신은

이 표현력이 너무 많지 않도록 의도 한 것입니다 .

t

$t$

r (x)

$r(x)$

x

$x$

r

$r$

\pm 1

$\pm 1$

t = 0

$t = 0$

r

$r$

r

$r$

— Yonatan N

따라서 위와 같이 위상 전이를 정의하면 가능성이 높은 어려운 사례가 있습니다. NP 완료 문제의 경우 문제는 아마도 어려운 사례가있을 수 있도록 문제의 일부 속성 (증거)을 연구하는 것입니다. 반대로 증거가 있다면 가능성이 높은 쉬운 사례가 있습니다. 예를 들어, 랜덤 그래프는 위상 전이에 가까운 에지 밀도를 가지고있어 문제의 해결 용이성에 영향을 줄 수 있습니다.

— user3483902

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이 분야의 전문가들은 기본적으로 위상 전이가 NP 완전 문제의 보편적 인 특징 이라고 주장 하지만, 이것이 아직 공식화되지는 않았지만 더 큰 분야에서 아직 광범위하게 간주 / 유포되지는 않았다 (실험적 지향에서 더 많이 나온다). 연구 지점). 거의 열린 추측이다. 강력한 증거가 있습니다. 비 위상 전이 NP 완료 문제에 대한 그럴듯한 후보자는 없습니다. 이 POV를 지원하는 두 개의 심판이 있습니다.

NP- 완전 문제에서의 위상 전이 : 확률, 조합론 및 컴퓨터 과학 / 무어에 대한 도전
위상 전이 동작 / Walsh (ppt)

여기에 주장의 진실에 대한 대략적인 스케치가 있습니다. NP 완료에 포함 된 P와 관련이 있습니다. NP 완료 문제 / 언어는 P 시간에 풀 수있는 인스턴스와 P ≠ NP 인 경우 지수 (또는 적어도 초 다항식) 시간에 풀 수있는 인스턴스를 가져야합니다. 그러나 "P 이외의"인스턴스에서 P 인스턴스를 "그룹화"할 수있는 방법이 항상 있어야합니다. 따라서 P 인스턴스와 비 P 인스턴스 사이에는 항상 "전환 기준"이 있어야합니다. 요컨대,이 현상은 P ≠ NP와 밀접한 관련이있을 수 있습니다!

또 다른 거친 주장 : 모든 NP 완료 문제는 축소를 통해 상호 교환 가능합니다. 위상 전이가 단일 위상에서 발견되면 모든 위상 전이에서 찾아야합니다.

이것에 대한 더 많은 정황 증거, 더 최근에 (~ 2010), 랜덤 그래프에서의 클릭 검출을 위해 단조 회로의 하한에 대해 위상 천이가 나타나는 것으로 나타났습니다.

도난 탐지의 평균 사례 복잡성 / Rossman

전체 공개 : Moshe Vardi는 특히 SAT에서 위상 전이를 연구했으며이 대화 / 비디오에서보다 회의적인 견해를 가지고 있습니다.

위상 전이 및 계산 복잡성

— vzn
소스

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Moshe Vardi의 대화에 대한 좋은 링크, 감사합니다! 포인트를 집으로 가져 오기 위해 NP-Complete 앙상블의 위상 전이는 인스턴스 복잡성의 어려움을 의미하지 않습니다 . M. Vardi는 언급하지 않았지만 설문 조사 전파는 3SAT에 대한 임계 임계 값 (양의 끝)에 가까운 수백만 개의 변수 / 절이있는 인스턴스를 해결하며 Erdos의 HAM 사이클에 대한 다항식 시간 알고리즘이 거의 확실합니다. -Renyi 랜덤 그래프.

— user834

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$G_{n,m}$ $n$ $m$ $\binom{n}{2}$ $m$ $G_{n,m}$

— 사용자 3483902
소스

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Erdos-Renyi 랜덤 그래프에서 해밀턴 사이클의 위상 천이는 위상 천이 (해밀턴 사이클이 나타날 가능성이 있음)를 보여 주지만 계산상의 어려움에서 유의미한 픽업을 나타내지 않는다는 점에서 연결된 논문은 정반대 입니다. Erdos-Renyi 랜덤 그래프에 대해 위상 전이의 모든 곳에서 임계 임계 값에 이르기까지 확률 적으로 다항식 시간 알고리즘이 거의 있다는 것이 잘 알려져 있습니다. 죄송 합니다만이 답변에 대해 공감대를 제출해야합니다.

— user834

-1

D 정규 그래프의 C 채색은 스트레칭하지 않는 한 특별히 위상 화되지 않은 일련의 이산 전이를 갖습니다.

다음은 SAT17에 제출할 채색 결과 표입니다. 몇 가지 예를 제외하고 6 개의 정규 그래프를 3 가지 채색하는 것은 불가능합니다. 마찬가지로 10도 그래프의 4 가지 채색 ... C3D5N180 그래프는 약간 어렵습니다. C4D9 골든 포인트는 잠정적으로 C4D9N180에 있습니다. C4D9 그래프는 내가 경험 한 가장 크기가 큰 4cnfs이므로 C4D9는 "하드 스팟"으로 간주됩니다. C5D16 골든 포인트는 존재하는 것으로 추측되지만 5 색에서 6 색까지의 하드 스팟 영역에 있습니다.

          Universal Constants of Regular Graph Coloring

착색 공식은 버텍스 당 lgC 변수를 가지며 총 lgC * N 변수가 있습니다. edge에는 총 C * M 절에 대해 C 색상 절이 있습니다. 추가 색상을 배제하기 위해 정점마다 몇 가지 추가 절이 있습니다. 골든 포인트는 다음과 같이 가장 작은 N입니다. N 꼭짓점이있는도 D 그래프의 C 색도는 거의 항상 만족스럽고 확률은 1에 가까워집니다. 높은 확률의 경우 N 개의 랜덤 인스턴스가 만족되었습니다. 매우 높을 경우, N * N을 만족시킬 수 있었다. 초고의 경우, N * N * N 랜덤 인스턴스는 만족할 만했습니다.

높은 확률 (1-1 / N) 황금 채색 포인트는 다음과 같습니다.

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180? C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

매우 높은 확률 (1-1 / (N * N)) 황금 채색 포인트는 다음과 같습니다.

C3D5N230? C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

초고 확률 (1-1 / (N * N * N)) 황금색 채점은 다음과 같습니다.

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72? C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

연구의 모든 무작위 사례는 만족할 만했다. 선형 확률 포인트는 수백 개의 만족스러운 공식을 확인했습니다. 이차 확률 포인트는 수만 개의 만족스러운 공식을 확인했습니다. 3 차 확률 포인트는 수십만 개의 만족스러운 공식을 확인했습니다. C4D9 및 C5D13 포인트는 어렵습니다. C5D16 포인트가 존재한다고 추측됩니다. 하나의 5 개의 채색 가능한 16도 랜덤 인스턴스는 추측을 증명할 것입니다.

— 다니엘 페호 she
소스