superlogarithmic 회로 복잡도 하한을 갖는 1 변수의 명시 적 다항식?

카운팅 인수로 한 1 개 변수 (즉, 폼의 무언가도 n 개의 다항식이 존재한다는 것을 나타낼 수 회로 복잡성이 없음. 또한 과 같은 다항식 에는 적어도 곱셈이 필요하다는 것을 알 수 있습니다 (충분히 높은 정도를 얻으려면 필요합니다). 복잡성에 대한 초 로그 하한을 갖는 1 변수에 다항식의 명시 적 예가 있습니까? (모든 분야에 대한 결과는 흥미로울 것입니다) $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)$ $x^n$ $\log_2 n$

— 매트 헤이스팅스
소스

유한 필드에 대한 회로 복잡성

을 염두에두고있는 예 입니까? 나는 계산 논증이 무한한 분야에서 어떻게 작동하는지 알지 못하며, 합리성에 대해서는 Paterson-Stockmeyer의

확실하다고 확신합니다.

n

$n$

경계가 빡빡합니다 (아래 답변도 참조하십시오).

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Joshua Grochow

언급 한 sqrt (n) 바운드는 (모든 필드에서) 곱셈 수의 상한에 불과하지만 덧셈과 곱셈을 연산으로 계산하면 거의 모든 다항식에 대해 무한 필드에 대해 n 연산이 필요합니다. 다항식에는 n 개의 별개의 계수가 있고 n 개 미만의 연산으로 가능한 모든 다항식을 평가할 수있는 방법이 없기 때문에 (이를 계수 인수라고해야하는지 확실하지 않습니다).

— 매트 헤이스팅스

\sum a_{i} x^{i}

$\sum a_i x^i$

x

$x$

a_{i}

$a_i$

a_{i}

$a_i$

의미는 회로는 덧셈과 곱셈 게이트로 구성됩니다. 주어진 게이트에 대한 입력은 이전 게이트의 출력 또는 x 또는 일부 상수 일 수 있습니다. 문제는 주어진 다항식에 대해 회로에서 회로를 찾아서 상수를 선택할 수 있습니까? 그러나, 우리는 다항식의 (n + 1) 차원 공간을 가지고 있지만, 만약 우리가 n 개의 게이트보다 적은 회로의 구조를 고치면 ( "구조"에 의해, 어떤 게이트가 어떤 게이트를 다른 게이트의 출력으로 사용 하는지를 의미하며) 가능한 상수의 선택은 계산할 수있는 다차원의 n 차원 공간보다 적은 공간을 제공합니다.

— 매트 헤이스팅스

Btw --- 인상은 계수에 대한 추가 제한없이 R 또는 C에 대한 명시 적 예를 구성하는 것이 대부분 해결된다는 것입니다. 반면에 모든 계수 a_i가 정수이고 너무 빠르게 성장하지 않는 명확한 예를 구성하면 여전히 열려 있습니까? 설문에 언급 한 모든 정수 상수가있는 예가 있지만 지수 적으로 두 배로 증가합니다.

— 매트 헤이스팅스

$n$ $(a_1, \dotsc, a_n)$ $\prod_{i=1}^{n} (x - a_i)$ $\Omega(\sqrt{n})$

$\sqrt{n}$ $\sum_{i=1}^{n} 2^{2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} e^{2 \pi i / 2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} i^{r} x^{i}$ $r$

— 조슈아 그로 호프
소스

감사. 따라서 열린 문제는 덧셈을 연산으로 계산하면 n 연산이 필요한 연산을 생성하는 것을 목표로 sqrt (n) 연산보다 더 많은 다항식을 구성 할 수 있다는 것입니다. 이것에 대한 결과가 있습니까? (sqrt (n) 곱셈 만 필요한 방법에서는 덧셈에 행렬 곱셈이 생기고 이것은 아마도 행렬-스칼라 곱셈의 복잡성에 대한 하한으로 줄어들 기 때문입니다)

— matt hastings