Frege 및 Extended Frege의 하한

Wikipedia [1]에 따르면 Frege Proof의 크기에 대해 가장 잘 알려진 하한은 2 차이며 Frege Proof의 줄 수에 대해 알려진 초 선형 하한은 없습니다.

질문 :

1) 확장 된 Frege Proof의 라인 수에 대해 가장 잘 알려진 하한은 무엇입니까?

2) 확장 된 Frege Proof의 크기에 대해 가장 잘 알려진 하한은 무엇입니까? Frege에서와 같이 여전히 2 차입니까?

3) Tree-like Extended Frege는 다항식 단계로 DAG-like Extended Frege를 시뮬레이션 할 수 있습니다. 나무와 같은 확장 된 Frege에 크기 / 라인 수에 대한 초 선형 하한이 있습니까?

4) Wikipedia에 명시된 바와 같이 Frege proofs에서 선 수에 대한 선형 하한과 크기에 대한 2 차 하한으로 이어지는 타올 로지가 무엇입니까?

Obs : 일정한 깊이의 Frege를 위해 우리는 크기의 하한을 가지고 있다는 사실을 알고 있습니다. $2^{\Omega(n^{6^{-d}})}$. 그러나 저는 풀 파워 Frege와 Extended Frege에 관심이 있습니다.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Frege_system

1, 2, 4) 확장 Frege에서 가장 잘 알려진 하한은 Frege의 경우와 동일합니다. 선형 수, 2 차 크기입니다. 이것은 예를 들어 타우 톨 로지에 적용됩니다$\neg^{2n}\top$(기본적으로, 더 짧은 타우 톨 로지의 대체 사례가 아니며 모든 하위 공식의 길이의 합이 2 차인 모든 타우 톨 로지). 이것은 Frezi 시스템에 대한 Krajíček의 경계 산술, 명제 논리 및 복잡성 이론 에서 입증 되었지만 확장 된 Frege 시스템에도 적용됩니다.

3) 나무와 같은 확장 된 Frege를 정확하게 정의하는 방법 (확장 공리 재사용을 허용하는 메커니즘이 있어야 함)이 완전히 명확하지는 않지만 Tree와 같은 Frege 또는 확장 된 Frege 시스템.