산술 회로가 부울보다 약합니까?

하자 A (비 모노톤)의 최소 크기를 연산 나타낸다 회로 주어진 multilinear 다항식 계산 $A(f)$ $(+,\times,-)$ 및 부울 A (비 모노톤)의 최소 크기를 나타낸다 회로는 상기 컴퓨팅부울 버전 의 에 의해 정의 :

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{e \in E} c_{e} \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{e_{i}},

$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$

B (f)

$B(f)$

(\lor, \land, \neg)

$(\lor,\land,\neg)$

f_{b}

$f_b$

f

$f$

f_{b} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \underset{e \in E}{⋁} \underset{i : e_{i} \neq 0}{⋀} x_{i} .

$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$

가 보다 작은 다항식 알려져 있습니까? $f$ $B(f)$ $A(f)$

우리가 고려하는 경우 모노톤 없는 마이너스 - 회로의 버전 없이하지 않음 - 게이트 다음 도 할 수있다 기하 급수적으로 보다 작은 테이크, 예를 들어, 가장 짧은 일 경로 다항식 : 에 ; 다음 과 $(-)$ $(\neg)$ $B(f)$ $A(f)$ $f$ $K_n$ $B(f)=O(n^3)$ . 그러나 "단일 톤이 아닌 세계"에서 어떤 일이 발생합니까? 물론에 큰 하한이 없기 때문에큰차이를 알 수 없습니다. 그러나 아마도 약간의 작은 차이가 있습니까? $A(f)=2^{\Omega(n)}$ $A(f)$

참고 (15.03.2016) 내 질문에, 나는 큰 계수

가 허용되는 방법을 지정하지 않았습니다 . Igor Sergeev는 예를 들어 다음과 같은 (단 변량) 다항식

는

(Strassen 및 그룹). 그러나이 다항식의 경우

입니다.

c_{e}

$c_e$

f (z) = \sum_{j = 1}^{m} 2^{2^{j m}} z^{j}

$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$

A (f) = Ω (m^{1 / 2})

$A(f)=\Omega(m^{1/2})$

B (f) = 0

$B(f)=0$

입니다. 우리는 얻을 수 프론

변수다항식

의

크로네 커 교체를 사용하여 변수. 각 지수와 연관

단항식

곳

f_{b} (z) = z

$f_b(z)=z$

f

$f$

f^{'} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f'(x_1,\ldots,x_n)$

n = \log m

$n=\log m$

j

$j$

X_{j} = \prod_{i : a_{i} = 1} x_{i}

$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$

(a_{1}, \dots, a_{n})

$(a_1,\ldots,a_n)$ 는

이진 표현의 0-1 계수입니다 . 이어서 다항식 원하는

, 우리가 그

그러나

의 부울 버전 은 변수의 OR 일 뿐이므로

j

$j$

f^{'} = \sum_{j = 1}^{m} c_{j} X_{j}

$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$

A (f^{'}) + n \geq A (f) = Ω (m^{1 / 2}) = 2^{Ω (n)} .

$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$

f^{'}

$f'$

이고 우리는 짝수 지수 격차가 있습니다. 따라서, 계수의 개수가 변수의 개수

에서 삼중 지수 일 수 있다면, 갭

는심지어 지수 인 것으로 보여 질수있다. (실제로, 크기 자체가 아니라 계수의 대수적 의존성이 더 큽니다.) 이것이

의 실제 문제가작은계수의 경우(이상적으로는 0-1)입니다. 그러나이 경우 여호수아가 상기 한 것처럼 하한

B (f^{'}) \leq n - 1

$B(f')\leq n-1$

n

$n$

A (f) / B (f)

$A(f)/B(f)$

A (f)

$A(f)$

쉬트 라쎈 및 (0-1 계수) 바우어의 오늘날 우리가 가지고있는 최고의 남아있다.

A (f) = Ω (n \log n)

$A(f)=\Omega(n\log n)$

— 스타 시스
소스

$\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$

$\Omega(n \log n)$ $\sum_{i=1}^n x_i^n$ $\Omega(n \log n)$ $x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$

— 조슈아 그로 호프
소스

안녕 여호수아 : 당신은 옳습니다. 음, 우리는 A (f)의 하한을 영구적으로 알 수 없습니다. 그러나 VP와 VNP의 상수가없는 버전이 다르면 (실제) 경계를 모르고 분리 B (f)와 A (f)를 알 수 있습니다.

— Stasys

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

여호수아 : 다시 한 번 좋은 지적. f가 모든 n 개의 단일 변수에 대한 n 차 제곱의 합이면 B (f)는 최대 n이고 Baur-Strassen show A (f)는 n의 n에 대한 n 배의 로그입니다. 이것은 A (f)에 가장 잘 알려져 있습니다. 따라서 내 질문에 대해 알려진 가장 큰 명백한 격차는 실제로 로그입니다. (질문 : 제 @가 왜 코멘트에서 항상 사라지는 지 아십니까?)

— Stasys

@Stasys : 좋은 예입니다. (다시 : 제쳐두고 그렇지 않다. 나는 시스템이 누가 "에"가 있는가에 대한 자동 추론을 수행한다고 생각한다. 그리고 만약 당신이 "기본 사람"에게 메시지를 보내고 있다면, 그것을 제거한다. .)

— Joshua Grochow

권리. 게시물 작성자는 항상 새로운 의견을 통보 받으므로 시스템은 명시적인 @ 알림을 중복으로 제거합니다.

— Emil Jeřábek