확장 된 유클리드 알고리즘의 "오버플로"

질문을 할 장소가 틀렸다면 죄송합니다 (아마도 stackoverflow.com/mathoverflow.net으로 이동해야합니까?).

I는 유클리드 알고리즘을 확장 평가할 때 Bezout에의 계수 (즉한다는 증거가 궁금 S 및 t 정체성 으로 + BT = GCD ( , B )), I 추측 A의 B에 따라 (일부 합리적인 값을 초과하지 않으며이 ). 특히 일부 범용 프로그래밍 언어에서 구현하면 프로그램의 오버플로 정확성에 관심이 있습니다.

내가 알고리즘의 빅터 샤 우프의 설명 (그의 책 "4.2 사용하는 것이 말할 수 정확합니다 정수론과 대수학에 대한 전산 소개 "자신의 홈페이지에서 무료로 제공)를.

ds.algorithms nt.number-theory

— 아르 템 펠레 니친
소스

나는 이것이 분명히 범위 내에 있다고 생각합니다.

— Suresh Venkat

이것을 Bézout의 정체 / 명칭 ( 대수 기하학에서 Bézout의 정리 와 혼동하지 말 것 )이라고합니다.

$a,b \neq 0$ $\gcd(a,b) = ax + by$ $x,y$ $|x| \leq |b|$ $|y| \leq |a|$

증명은 표준 대수학 교과서에서 찾을 수 있습니다. 또한 gcd 프로세스의 반복을 유도하여 직접 증명할 수 있습니다.

일반적으로 이것은 곱셈 유클리드 함수 를 갖는 모든 유클리드 도메인 에서 사실입니다 . 여기서 인 경우이것은 곱셈입니다. $R$ $f$ $R = \mathbf{Z}$ $f(x) = |x|$

— 창시 엔 치치 張顯之
소스

당신은 Wikipedia를 언급하지만“또한 우리는 가정 할 수있다”라는 단어는 없다. “표준 대수학 교과서”라고 말씀해 주시겠습니까? 나는 추상 대수학에서 Rotman의 첫 번째 과정을 살펴 보았습니다. Eucl에 대한 설명이 있습니다. Algo, 그러나 계수에 대한 그러한 경계는 없습니다. Shoup의 책에서 같은 이야기는 내 게시물에서 저에게 언급되었습니다.

— Artem Pelenitsyn

Keijo Ruohonen, math.tut.fi/~ruohonen/MC.pdf 의 책에서 Theorem 2.5를 사용해보십시오 . 나의 몸집이 정확하다면, Fraleign의 저서에는 본문이나 연습 문제가있다. amazon.com/First-Course-Abstract-Algebra-7th/dp/0201763907

— Hsien-Chih Chang 張顯之

이것을 일반화 할 수 있습니까? 대답 용액 존재

되도록

gcd (a_{1}, \dots, a_{n}) = \sum_{i} x_{i} a_{i}

$\gcd(a_1,\ldots,a_n) = \sum_{i} x_ia_i$

\sum_{i} | x_{i} | \leq \sum_{i} | a_{i} |

$\sum_{i}|x_i|\leq \sum_{i}|a_i|$

— Chao Xu