최대 중량 매칭 및 서브 모듈 기능

된 그래프 주어 $G = (U \cup V, E)$ 포지티브 가중치하자 와 그래프에서 최대 가중치 매칭 동일 $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ $f(S)$ $G[S\cup V]$ .

$f$ 가 하위 모듈 함수 라는 것이 사실 입니까?

matching submodularity

— 조지 옥타비안 라반 카
소스

어떻게 생각해? 그것을 증명 / 반증하려고 했습니까?

— Yuval Filmus

직관적으로 그것은 사실 인 것처럼 보이지만 그것을 증명할 수는 없습니다. 또한 그것이 사실이라면 그것은 잘 알려진 결과 일 것이지만 참조를 찾을 수 없다고 생각합니다.

— George Octavian Rabanca

분 단위로 줄일 수 있으므로 가중치가없는 경우에 해당됩니다. 가중 버전을 증명하는 방법은 분명하지 않습니다 ...

— Chao Xu

모서리 가중치가 1,1,1,2 인

를 고려하십시오 .

K_{2, 2}

$K_{2,2}$

— András Salamon

@ AndrásSalamon 마지막 단계에서

는 부가적인 것으로 가정 합니다. 사실이 아닙니다. 최대 매칭

이미 모두 일치에 의해 사용되어왔다 정점 사용할 수있는

와

. 나는 이것에 대한 증거를 가지고 있지만 이것보다 분명히 더 관련되어 있습니다.

f

$f$

S \cap T

$S\cap T$

S ∖ T

$S \setminus T$

T ∖ S

$T \setminus S$

— George Octavian Rabanca

정의 . 주어진 유한 세트 경우, 설정된 함수 은 대해 하위 모듈 식 입니다. $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

Lemma 양의 간선 가중치를 갖는 이분 그래프 가 주어지면 를 의 최대 중량 일치 값에 매핑하는 함수로 설정합니다 . 그런 다음 는 하위 모듈입니다. $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

증명. 두 세트 수정 하고 및 그래프 및 대해 두 개의 일치로 설정하십시오 . 보조 정리를 증명하기가의 가장자리를 분할 할 수 있음을 보여주기에 충분하다 및 두 개의 분리 된의 matchings에 와 $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ 그래프 및 각각에 대해. $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

가장자리 및 교호 경로와 사이클의 컬렉션을 형성한다. 하자 이 컬렉션을 표시하고 전혀주기를 관찰 에서 정점을 포함하지 않는 또는 . 이것은 이 그 정점과 일치하지 않기 때문에 유지 됩니다. $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ $Y\setminus X$ $M_\cap$

하자 있는 경로들의 집합 에 적어도 하나 개의 꼭지점 $\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ 및하자 있는 경로들의 집합 에 적어도 하나 개의 꼭지점과 . 이러한 두 가지 경로가 아래 그림에 나와 있습니다. $\mathcal{P}_Y$ $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

청구 1. . $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

경로가 존재한다고 가정 모순 . 하자 의 정점이 될 경로에 유사하게 의 정점이 될 경로에 . 그 때문에도 관찰 나 에 , 경로 처음이나 마지막 에지에 속하거나, 심지어 길이를 가지고 있으며 교대로하기 때문에 $P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ 에 속한다 가 일치 속하지 않는 정의하여, 따라서 이들은 경로의 끝점이다 . 또한, 와 $X \cap Y$ $M_\cap$ $P$ $x$ $y$ $A$ $P$ . 따라서 는 또는 와 일치하여 정의와 모순되고 주장을 증명합니다. $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

하자 및 그리고

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$ 그것은 분명 그

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$ . 정리를 증명하기 위해,

및

가 각각

및

대해 유효한 일치 임을 보여줍니다 . 있는지

보낸

교차하지

제 1 및

교차하지

정의. 따라서

는

꼭짓점 만 사용합니다.

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$ 위한 유효한 matchings 인

어떠한 버텍스 있다는 것을 처음 관찰

일치되지

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$ . 둘째, 모든 정점

는

의 최대 한 모서리와 일치 한다는 점을 관찰하십시오. 그렇지 않으면

대한 유효한 일치입니다 . 그것을 보여주는

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

하나의 두 에지들에 속하는

또는 두 에지

정의 모순. 이것은

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

가

대한 유효한 일치.

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

— 조지 옥타비안 라반 카
소스

멋지다! 사소한 제안 :

및

의 정의는 대칭이 아니므로 "

...가 유사하다"는 최종 주장 은 즉각적이지 않습니다. 그것은 (내가 생각하는) 당신이 허락한다면 더 분명

연결된 구성 요소의 모든 정점 닿지 나타내는

누른 다음 설정

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

및.

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

는

와

가 동일하고 마지막

이

변경되었습니다.

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$

— 앤드류 모건