P에서 NP-hard까지 매개 변수화 된 복잡성

나는 매개 변수화 된 문제의 예를 찾고 있는데 , 여기서 문제의 경도는 에서 비단 조적 이다 . 내 경험상 대부분의 문제에는 단일 위상 전이가 있습니다. 예를 들어 -SAT에는 (문제가 P 인 경우)에서 (여기서 문제는 NP- 완료입니다). 증가함에 따라 양방향에서 상 전환 이 쉬운 문제에 관심이 있습니다 .$k \in \mathbb{N}$k k ∈ { 1 , 2 } k ≥ 3 $k$$k$$k \in \{1,2\}$$k \ge 3$$k$

내 질문은 Computational Complexity의 Hardness Jumps에서 묻는 질문과 다소 비슷 하며 실제로 일부 답변은 내 질문과 관련이 있습니다.

내가 알고있는 예 :

1. $k$평면 그래프의 착색성 : NP가 완전한 $k=3$ 일 때를 제외하고 P.
2. $k$ 터미널이있는 스타이너 트리 : $k=2$ (최단 $s$ - $t$ 경로로 축소 ) 및 $k=n$ (MST로 축소) 인 경우 P에서 NP-hard가 "사이에"있음. 이러한 위상 천이가 예리한 지 모르겠습니다 (예 : k_0의 경우 P, k_0 + 1의 경우$k_0$ NP-hard ). 또한 k 의 전환은 다른 예제와 달리 입력 인스턴스의 크기에 따라 다릅니다.$k_0+1$$k$
3. 평면 식 모듈로의 만족 할당을 계산 : P에서는 때 메르 센이다 프라임 수가 및 # P-전체에 대한 가장 / (?) 모든 다른 값 에 아론 스털링에서 ( 이 글 ). 많은 단계 전환!$n$$n$$n=2^k-1$$n$
4. 유도 된 서브 그래프 탐지 : 문제는 정수가 아니라 그래프로 매개 변수화됩니다. 그래프 존재 (여기서 , 서브 그래프 관계의 특정 종류를 나타낸다)를 결정하는 여부 지정된 그래프 위해 P에 대해서는 NP-complete입니다 . ( 같은 스레드 에서 Hsien-Chih Chang에서 ).$H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3$$\subseteq$$H_i \subseteq G$$G$$i\in \{1,3\}$$i=2$

문제가 복잡하지 않은 비 음성이 많은 한 분야는 속성 테스트입니다. 하자 모든들의 집합 -vertex 그래프 및 통화 그래프 속성. 일반적인 문제는 그래프 에 속성 가 있는지 (즉, ) 또는 속성 가 어떤 의미 에서 '먼' 지 여부를 확인하는 것 입니다. 가 무엇이며 그래프에 어떤 종류의 쿼리 액세스가 있는지에 따라 문제가 매우 어려울 수 있습니다.$\mathcal{G}_n$$n$$P \subseteq \mathcal{G}_n$$G$$P$$G \in P$$P$$P$

그러나 우리가 가지고 있다면 , 를 쉽게 테스트 할 수 있다는 사실 은 가 쉽게 테스트 가능하거나 가 된다는 것을 암시하지 않는다는 점에서 문제가 비 모노톤 이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다 . $S \subset P \subset T$$P$$S$$T$

이를 확인하기 위해서는 및 을 모두 테스트 할 수 있지만 일부 속성의 경우 하한이 강하다 는 것을 관찰하면 충분 합니다.$P = \mathcal{G}_n$$P = \emptyset$

지정된 그래프 및 정수 은 의 번째 전력 붙이고, 같은 정점이 두 개의 별개의 꼭지점에 인접하도록 설정할 수 있고, 에서의 거리가있는 경우 있어요 대부분의 . 의 전력 번째 분할 그래프 주어진 그래프가 문제인지 묻는다 분할 그래프 번째의 파워.$G$$k\ge 1$$k$$G$$G^k$$G^k$$G$$k$$k$$k$

• 들면 , 선형 시간 실밥 문제. 분할 그래프를 인식하는 것은 선형 시간 (잘 알려진)으로 수행 할 수 있기 때문입니다.$k=1$
• 들면 , 문제는 NP-완료된다. 이것은 Lau와 Corneil에 의해 적절한 간격, 분할 및 코드 그래프의 힘을 인식하는 것으로 증명되었습니다 . SIAM J. Discrete Math., 18 (2004), 83-102 .$k=2$
• 들면 , 문제는 간단하다 : 오직 완전한 그래프이다 분할 번째의 그래프의 힘.$k\ge 3$$k$

이러한 문제 중 하나는 매개 변수가 최대 그래프 인 평면 그래프의 가장자리 색상입니다 . 경우 또는 도 (그 다항식 정확한 알고리즘을 공지되어 여기서 참조 )에 대한 반면 이러한 알고리즘은 공지되지 않고, 이러한 경우에 대한 NP 경도 증거가없는 .$\Delta$$\Delta=2$$\Delta\geqslant 7$$3\leqslant\Delta\leqslant 6$

관련 질문은 여기에서 설명 합니다 .

그래프 가 다음을 위해 지배적 인 도둑을 가지고 있는지 판단 하기 :$G$

• $diam(G)=1$ 은 사소합니다-답은 항상 '예'입니다
• $diam(G)=2$ 는 NP- 완료입니다
• $diam(G)=3$ 은 NP- 완료입니다
• $diam(G)\ge 4$ 는 사소합니다. 대답은 항상 '아니요'입니다

케이스 은 Brandstädt와 Kratsch 때문이며 , 최근의 논문 에는 diam 가 언급되어 있습니다.$diam(G)=3$$diam(G)=2$

이것은 당신이 찾고있는 현상의 예입니까?

k-Clique 문제를 고려하십시오. 여기서 k는 찾고자하는 clique의 크기입니다. 그래서 문제는 "n 꼭지점의 그래프 G에 크기 k의 도가 있습니까?"입니다.

모든 상수 k의 경우 문제는 P에 있습니다. (무차별 알고리즘은 시간 에서 실행됩니다 .) k의 큰 값 (예 : n / 2와 같은 값)의 경우 NP- 완료입니다. 일정한 상수 c에 대해 nc와 같이 k가 n에 매우 가까워지면 크기가 nc 인 n 개의 꼭짓점의 모든 부분 집합을 검색하고 이들 중 어느 것이 도당을 형성하는지 확인할 수 있기 때문에 문제는 다시 P에 있습니다. ( c가 상수 일 때 폴리 노 미적으로 큰 이러한 부분 집합 은 뿐입니다 .)$O(n^k)$$O(n^c)$

다음은 원하는 유형의 예입니다. 매개 변수는 정수가 아니며 숫자 쌍입니다. (그들 중 하나를 수정하여 하나의 매개 변수 문제로 만들 수 있습니다.)

문제는 좌표 (x, y)에서 그래프 G의 Tutte 다항식을 평가하는 것입니다. 좌표를 정수로 제한 할 수 있습니다. (x, y)가 (1, 1), (-1, -1), (0, -1), (-1,0) 중 하나이거나 (x-1)을 만족하면 문제는 P입니다 ) (y-1) = 1입니다. 그렇지 않으면 # P-hard입니다.

나는 Tutte 다항식에 관한 Wikipedia의 기사에서 이것을 얻었습니다 .

행렬 모듈로 의 영속성을 계산하는 문제는 어떻습니까? 들면 ( "이 쉽게 (영구 = 행렬식 사람)이고, 용감한 영구 컴퓨팅 복잡성 ")은 모듈로 연산 될 수 보였다 시간에 용 가우시안 제거의 수정 된 변형에 의한그러나 의 거듭 제곱이 아닌 경우 UP-Hard입니다. $k$$k=2$$2^d$$O(n^{4d-3})$$d \geq 2$$k$$2$

이 현상의 또 다른 문제는 분할 그래프 의 최소 -SPANNER 문제입니다.$t$

일정한 들어 하는 -spanner 연결된 그래프 연결된 스패닝 서브 그래프이다 의 이러한 꼭지점들의 모든 쌍에 대한 것으로 와 사이의 거리 및 에서 많아야이다 시간에서의 거리 . 최소 SPANNER 문제는 주어진 그래프의 최소 가장자리 수를 가진 스패너를 요청합니다 .$t$$t$$G$$H$$G$$x$$y$$x$$y$$H$$t$$G$$t$$t$

분할 그래프는 그 정점 집합 도당 및 독립 세트들로 분할 될 수있는 그래프이다.

본 논문 에서는 분할 그래프의 최소 2-SPANNER가 NP-hard 인 반면 각 에 대해 최소 SPANNER는 분할 그래프에서 쉽다는 것을 보여 주었다.$t \ge 3$$t$

잘 알려진 예는 에지 착색이다.$k$

경우 다항식 시간 decidable 인 그렇지는 - 완전한 .$k \ne \Delta$$NP$

3 차 그래프의 경우 다음을 사용하여 가장자리 색의 존재를 결정하십시오.

• $k=2$대답이 항상 아니오이므로 색상은 사소합니다.
• $k=3$ 색은 - 완전한$NP$
• $k \ge 4$대답은 항상 그렇기 때문에 색은 사소합니다.

Holyer, Ian (1981), "가장자리 채색의 NP- 완전성", SIAM Journal on Computing 10 : 718–720

http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring

이것은 P NP-hard P NP-hard 위상 전이에 대한 흥미롭고 놀라운 예입니다 .$\to$$\to$$\to$$\to \cdots$

에 완전한 그래프 경우 결정 각 정점은 다른 모든 정점의 엄격한 순위를 갖고있는 정점, 인기 매칭 ODD에 대한 P에 인정 심지어과 NP 하드 . (매개 변수는 꼭짓점 번호 입니다.)$n$$n$$n$$n$

이 논문 에서 그 증거가 발표되었다 .

가장자리 색 그래프의 경로는 색이 두 번 나타나지 않으면 무지개 입니다. 각 정점 쌍 사이에 무지개 경로가 있으면 그래프는 무지개 색 입니다. RAINBOW- -COLORABILITY는 주어진 그래프가 색상을 사용하여 무지개 색이 될 수 있는지 결정하는 문제가되게하십시오 .$k$$k$

그래프 경우 가 완전한 그래프 인지 확인하는 것과 같기 때문에 의 문제는 쉽습니다 . 들면 스플릿 그래프 , 문제는 대한 - 완전한 , 및에 다른 모든 값 .$G$$k=1$$G$$\sf NP$$k \in \{2,3\}$$\sf P$$k$

Chandran, L. Sunil, Deepak Rajendraprasad 및 Marek Tesař를 참조하십시오 . "분할 그래프의 무지개 색." arXiv 프리 프린트 arXiv : 1404.4478 (2014).

부분 집합 그래프의 A는 끊어진 컷셋 경우 및 끊긴있다.$U\subseteq V(G)$$G$$G[U]$$G-U$

지름 1의 그래프에 절단 된 연결이 끊어 졌는지 여부를 결정하는 것은 쉽지 않습니다. 문제 2 직경의 그래프에 NP-어려워진 이 논문을 참조 직경 적어도 3 개의 그래프가 다시 용이 이 논문 참조 .