일반 데이터 유형에 대한 원시 재귀 함수 정의

원시 재귀 함수는 자연수에 대해 정의됩니다. 그러나 개념이 다른 데이터 형식으로 일반화되는 것처럼 보이므로 예를 들어 목록을 이진 트리에 매핑하는 기본 재귀 함수에 대해 이야기 할 수 있습니다. 유추하여 자연수에 대한 부분 재귀 함수는 모든 데이터 유형의 계산 가능한 함수로 훌륭하게 일반화되며 원시 재귀 함수에 대해 동일한 종류의 일반화를 만드는 방법을 이해하고 싶습니다.

직관적으로, 목록 (예 : 연결, 머리와 꼬리 가져 오기, 요소 비교)과 같은 기본 작업을 허용하는 간단한 명령 언어와 반복 횟수를 미리 알아야하는 반복 형식을 정의하려는 경우 ( 불변 목록의 요소를 반복하는 것과 같이) 그런 언어는 목록에 대한 기본 재귀 함수를 계산할 수 있어야합니다. 그러나 이것을 공식적으로 어떻게 이해할 수 있습니까? 더 구체적으로 말하면, 언어가 하위 집합이 아닌 목록에 대한 모든 기본 재귀 함수를 계산한다는 것을 어떻게 증명할 수 있습니까?

분명히하기 위해, 나는 원시 재귀 자체의 작동보다는 단순한 재귀 함수를 잘 정의 된 함수 클래스로 이해하는 데 관심이 있습니다. 나는 일반적인 데이터 구조에 대한 원시 재귀에 쓰여지거나 실제로 자연수 이외의 다른 맥락에서 작성된 것에 대한 포인터에 관심이 있습니다.

업데이트 : 나는 McAllester와 Arkoudas의 Walther Recursion이라는 논문 에서 답 을 찾았을 것입니다. ( CADE 1996의 절차 .) 이것은보다 강력한 Walther 재귀뿐만 아니라 일반화 된 버전의 원시 재귀를 포함하는 것으로 보인다. 이 내용을 요약하면 자체 답변을 작성하려고하지만 그 동안이 메모는 동일한 질문을 가진 다른 사람들에게 도움이 될 수 있습니다.

computability

— 나다니엘
소스

정확히 무엇을 찾고 있는지 명확하지 않습니다. W 타입 을 찾으려고하는 것처럼 보이지만 그렇지 않을 수도 있습니다.

— Andrej Bauer

"일반적인"(트리와 같은) 데이터 유형은 자연수로 매우 간단하게 인코딩 될 수 있으며 자연에 대한 PR 함수는 원하는 것을 매우 잘 표현합니다. 또는 "보통"반복자를 사용하여 Gödel의 System T 확장을 엄격하게 양의 1 차 데이터 유형으로 사용할 수 있습니다.

— 코디

이 "기능"을 제거 하려면 제거기의 출력 유형을 기본 유형으로 제한 할 수 있습니다 .

— 코디

여전히 제한된 W 유형의 형태가 당신이 찾고있는 것 같습니다. 유한 분기를 갖는 W 타입과 리 커서는 다른 제한된 W 타입으로 제거하는 것으로 제한됩니다.

— Andrej Bauer

CADE 컨퍼런스 1996 방문 : dblp.org/db/conf/cade/cade96

— John Fisher

답변:

일반적으로 데이터 유형 (목록, 트리 등)이있는 언어에서는 원시 재귀가 예상하는 것처럼 정확하게 작동하는 함수 언어를 쉽게 설명 할 수 있습니다.

예를 들어 데이터 유형이 이고 생성자 은 유형이 $D$ $c_1,\ldots, c_n$

씨_{나는} : 티_{1}^{나는} \to 티_{2}^{나는} \to \dots \to 티_{{케이}_{1}}^{나는} \to 디 \to \dots \to 디

$c_i : T_1^i\rightarrow T_2^i\rightarrow \ldots\rightarrow T_{k_1}^i\rightarrow D\rightarrow\ldots\rightarrow D$

출력 유형 대한 리 커서 는 유형을 갖습니다. $\mathrm{rec}_D^O$ $O$

{아르 자형 이자형 씨}_{디}^{영형} : (티_{1}^{1} \to \dots 티_{{케이}_{1}}^{1} \to 디 \to \dots \to 디 \to 영형 \to \dots \to 영형) \to \dots \to 디 \to 영형

$\mathrm{rec}^O_D:(T_1^1\rightarrow\ldots T^1_{k_1}\rightarrow D\rightarrow \ldots\rightarrow D\rightarrow O\rightarrow \ldots\rightarrow O)\rightarrow\ldots\rightarrow D\rightarrow O$

운영 의미론은 다음과 같습니다.

{아르 자형 이자형 씨}_{디}^{영형} {에프}_{1} \dots {에프}_{엔} (씨_{나는} 티_{1} \dots 티_{{케이}_{나는}} 디_{1} \dots 디_{미디엄}) \to {에프}_{나는} 티_{1} \dots 티_{{케이}_{나는}} ({아르 자형 이자형 씨}_{디}^{영형} {에프}_{1} \dots {에프}_{엔} 디_{1}) \dots ({아르 자형 이자형 씨}_{디}^{영형} {에프}_{1} \dots {에프}_{엔} 디_{미디엄})

$\mathrm{rec}^O_D\ f_1\ \ldots\ f_n\ (c_i\ t_1\ldots t_{k_i}\ d_1\ldots d_m)\rightarrow\\ f_i\ t_1\ldots t_{k_i}\ (\mathrm{rec}^O_D\ f_1\ldots\ f_n\ d_1)\ldots (\mathrm{rec}^O_D\ f_1\ldots f_n\ d_m)$

각각의 . $i$

입 가득! 자연수의 경우, 적어도

{아르 자형 이자형 씨}_{엔}^{영형} : (엔 \to 영형 \to 영형) \to 영형 \to 엔 \to 영형

$\mathrm{rec}_{\mathbb{N}}^O:(\mathbb{N}\rightarrow O\rightarrow O)\rightarrow O\rightarrow\mathbb{N}\rightarrow O$

{아르 자형 이자형 씨}_{엔}^{영형} {에프}_{0} {에프}_{1} 0 \to {에프}_{1} 0

$\mathrm{rec}^O_{\mathbb{N}}\ f_0\ f_1\ 0 \rightarrow f_1\ 0$ 및

{아르 자형 이자형 씨}_{엔}^{영형} {에프}_{0} {에프}_{1} (에스 엔) \to {에프}_{0} 엔 ({아르 자형 이자형 씨}_{엔}^{영형} {에프}_{0} {에프}_{1} 엔)

$\mathrm{rec}^O_{\mathbb{N}}\ f_0\ f_1\ (S\ n)\rightarrow f_0\ n\ (\mathrm{rec}^O_{\mathbb{N}}\ f_0\ f_1\ n)$

원하는대로 (제로 생성자는 인수가 0입니다!).

이제 우리는 상수 함수와 프로젝션을 허용 하고 비 함수 타입 대해 의 임의의 사용을 허용 하면 정확히 기본 재귀를 갖습니다. $\mathrm{rec}^O_D$ $O$

모든 가 작동하지 않는 경우 데이터 유형의 일반적인 Gödel 인코딩은 동일한 기본 재귀 함수를 제공합니다. $T^j_i$

이 프로세스에 대해 좀 더 우아한 설명을하는 것이 좋습니다. 카를로스의 대답은 다음과 같습니다. 이러한 데이터 유형은 다항식 펑터 ( polynomial functors) 라고 불리는 특정 펑터 의 초기 대수학 으로 범주 이론에서 더 우아하게 설명 될 수 있습니다 . 재귀는이 대수의 초기 형태 일 뿐이며 , 때로는 혼동을 일으키는 사람들에 의해 대변인 이라고 불린다 . 이 형태는 초기 대수의 구성에 의해 존재합니다.

paramorphism는 제가 위에서 설명한 단지 특정 변종이다.

— 코디
소스

나는 이것이 나를 넘어 다소 두려워합니다. 왜 우리가 얻기를 바랐습니까?

{r e c}_{N}^{O} : (N \to O \to O) \to O \to N \to O

$\mathrm{rec}_{\mathbb{N}}^O:(\mathbb{N}\rightarrow O\rightarrow O)\rightarrow O\rightarrow\mathbb{N}\rightarrow O$ 형식 서명으로? 이것이 자동적으로 원시 재귀를 나타내는 것을 의미합니까? (함수 유형에서만 읽을 수있는 방법을 상상하는 데 어려움을 겪고 있습니다.) 나는 Haskell에서 프로그래밍 할 수있는 정도까지 유형 이론에 익숙하지만 나는 형식주의에 익숙하지 않습니다. 다시 사용하십시오. 당신이 쓴 것을 이해하기에 충분한 배경을 어디에서 읽을 수 있습니까?

— Nathaniel

의 유형은 위의 일반적인 스키마를 따릅니다. 이는 동작 시맨틱이 PR 함수의 정의에서 재귀 연산을 나타 내기 때문에 원시 재귀를 나타냅니다. 나는 작동 의미론을 설명하지 않았으므로 주석을 확장 할 것입니다.

{r e c}_{N}

$\mathrm{rec}_{\mathbb{N}}$

— 코디

기초적인 참고 자료는 없지만, 이 슬라이드는 훌륭하고 부드러운 소개를 제공한다고 생각 합니다. Ralph Mattes 논문의 3 장에서는 "1 차"유도 형이 아닌 유형을 허용하지만 기술적 인 세부 사항에 대해 자세히 설명합니다.

— 코디

나는 최근에 바로이 질문을하고 있었고, 몇 가지 흥미로운 기사를 발견했다.

초기 유도 적으로 제시된 논리 : (a) 특정 요구 사항을 충족하는 모든 데이터 유형에 대한 원시 재귀에 대한 일반적인 개념을 제공하는 논리를 정의합니다. (b)이 논리가 원시 재귀 산술의 보수적 인 확장임을 증명합니다.

루프 프로그램의 복잡성 : 루프 프로그램 의 개념이 원시 재귀 함수와 동등 함을 증명합니다.

원시 재귀 집합을위한 논리 프로그램 : 논리 프로그램 클래스가 원시 재귀 함수와 동등 함을 증명합니다.

원시 재귀 집합 함수의 증명 이론적 특성화 : 주어진 집합에 대한 모든 원시 재귀 기능이 매우 약한 집합 이론에서 정의 가능한 기능임을 증명합니다.

— 스티븐 슈 케이 릭
소스

아마도 당신은 기형 의 개념을 생각하고 있습니까?

에서 바나나, 렌즈, 봉투 및 철조망과 기능 프로그래밍 :

자연수의 경우, 기형은 함수입니다 $h = (b, \oplus)$ 형태의

\begin{aligned} h 0 & = 비 \\ h (엔 + 1) & = 엔 \oplus (h 엔) \end{aligned}

$\begin{align} h\; 0 &= b \\ h\; (n + 1) &= n \oplus (h\; n) \end{align}$

예를 들어 계승 함수는 $b = 1$ 과 $n \oplus m = (n + 1) \times m$ .

목록의 경우, 기형은 함수일 것입니다 $h$ 형태의

\begin{aligned} h 무 & = 비 \\ h (단점 ㅏ 비) & = ㅏ \oplus (비, h 비) \end{aligned}

$\begin{align} h\; \textsf{nil} &= b \\ h\; (\textsf{cons}\; a\; b) &= a \oplus (b, h\; b) \end{align}$

— 사용자
소스