동적으로 업데이트 된 입력에 대한 다항식 값 유지

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하자 의 고정 유한 필드 위에 다항식. 우리가 가정의 주어진 값 어떤 벡터에 와 벡터 . $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $P$ $y \in \{0,1\}^n$ $y$

우리는 지금 값 계산하려면 벡터에 되도록 및 단 하나 개의 위치에 차이가 (즉, 우리가 정확히 하나의 비트 플립 ). 이 문제에 대한 공간과 시간의 균형은 무엇입니까? $P$ $y' \in \{0,1\}^n$ $y$ $y'$ $y$

예를 들어, 에 monomials의 개수 , 우리는 모든 계수 monomials의 값을 저장할 수있는 . 경우 뒤집어, 우리는 각각 함유 단항식의 값을 수정 및 그 값 상기 저장된 정보를 이용. 전반적으로 시간과 공간이 필요 합니다. $r$ $P$ $P$ $y_i$ $y_i$ $P(y)$ $O(r)$

(나는 우리가 목적으로 를 포함하는 모노마 이어를 식별하는 방법에 대해 아무 말도하지 않습니다 . 예를 들어, 각 에 대해 를 포함하는 모노마 이어리스트를 저장한다고 가정하는 예에서 합리적인 표현을 선택할 수 있습니다 .) $y_i$ $P$ $y_i$ $i$

더 좋은 것이 있습니까?

polynomials dynamic-algorithms

— 타티아나 스타리 코브 스카 야
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아이디어의 일반화 다음 :는 (유한 체 위에) 대수 회로 또는 컴퓨팅 (검색의 유한 요소의 비트 단위 표현 컴퓨팅) 부울 회로 주어진 다음 회로의 각 게이트의 값을 유지한다. 의 번째 비트 를 변경하는 경우 입력 에서 시작하여 회로의 DAG를 따라 해당 변경 사항을 전파하십시오 . 회로 크기가있는 경우 ,이 걸리는 의 시간과 공간. 이것은 monomials의 수보다 훨씬 작을 수 있습니다 (심도 2의 대수 회로의 크기에 해당). $P$ $i$ $y$ $y_i$ $s$ $O(s)$

— 조슈아 그로 호프
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1

나는 이것이 의도적 확실하면 모르겠지만, 문제는 우리가 주어진하고 말을하지 않는

그냥

.

y

$y$

f (y)

$f(y)$

— 앤드류 모건

1

@AndrewMorgan 응용 프로그램에 따라 y가 주어진다고 가정하는 것이 좋습니다. 의견 감사합니다!

— Tatiana Starikovskaya

2

@AndrewMorgan : 실제로 이것은 기술적으로 사실이지만 OQ의 예제 구성이 표현 된 방식은

가 주어진 것으로 암시 적으로 가정하는 것 같습니다 . 경우

주어지지 않는다, 나는이 문제가 될 생각 많이 어렵습니다. (Tatiana, 이것을 질문에 대한 설명으로 추가 할 가치가 있습니다.)

y

$y$

y

$y$

— Joshua Grochow

5

각 업데이트마다 변경된 모노 미널 수에 비례하여 시간이 걸리도록 모노마 이어 저장 방식을 쉽게 수정할 수 있습니다. 새로운 값을 추가하고 변경된 각 모노 미널의 이전 값을 빼서 총 다항식 값을 업데이트하면됩니다.

대한 1 회 읽기 수식이있는 경우 (즉, 모든 변수가 수식 트리의 단일 리프에 나타나고 각 내부 노드가 플러스 또는 시간과 같은 2 입력 산술 연산 인 경우) 의 값을 로그로 유지할 수 있습니다 수식 위에 레이크 압축 트리 를 사용하여 업데이트 당 시간 . 이 방법을 임의의 수식에 적용하면 번 나타나는 변수를 업데이트하는 시간은 이며 여기서 은 수식 크기입니다. 따라서 로그 팩터를 제외하면 변경된 모노 미널 수에 대한 경계를 일반화하고 다항식을 공식으로 확장하는 더 일반적인 유형에 적용됩니다. $P$ $P$ $k$ $O(k\log N)$ $N$

— 데이비드 엡스타인
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